5. Calcule o volume dos solidos de revolução das regioes indicadas em torno do eixo Y. (a) f(x)=4+3x-x^2 com xin [0,2]

Para calcular o volume dos sólidos de revolução das regiões indicadas em torno do eixo Y, podemos usar o método dos discos ou anéis.<br /><br />No caso da função \(f(x) = 4 + 3x - x^2\) com \(x \in [0, 2]\), podemos calcular o volume usando o método dos discos.<br /><br />O volume \(V\) é dado por:<br /><br />\[ V = \pi \int_{0}^{2} (4 + 3x - x^2)^2 \, dx \]<br /><br />Primeiro, vamos expandir a expressão \((4 + 3x - x^2)^2\):<br /><br />\[ (4 + 3x - x^2)^2 = (4 + 3x - x^2)(4 + 3x - x^2) \]<br /><br />\[ = 16 + 24x + 9x^2 - 8x^3 - 6x^4 \]<br /><br />Agora, integramos essa expressão de 0 a 2:<br /><br />\[ V = \pi \int_{0}^{2} (16 + 24x + 9x^2 - 8x^3 - 6x^4) \, dx \]<br /><br />Integramos termo a termo:<br /><br />\[ V = \pi \left[ 16x + 12x^2 + 3x^3 - 2x^4 - 2x^5 \right]_{0}^{2} \]<br /><br />Substituímos os limites de integração:<br /><br />\[ V = \pi \left[ (32 + 48 + 24 - 32 - 64) - (0 + 0 + 0 - 0 - 0) \right] \]<br /><br />\[ V = \pi \left[ 68 \right] \]<br /><br />Portanto, o volume dos sólidos de revolução das regiões indicadas em torno do eixo Y é \(68\pi\).