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Matemática
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3)Demonstrar por indução que: a) 1.2+2.3+3.4+ldots +n(n+1)=(n(n+1)(n+2))/(3),forall nin R.

Pergunta

3)Demonstrar por indução que:
a) 1.2+2.3+3.4+ldots +n(n+1)=(n(n+1)(n+2))/(3),forall nin R.

3)Demonstrar por indução que: a) 1.2+2.3+3.4+ldots +n(n+1)=(n(n+1)(n+2))/(3),forall nin R.

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AlejoElite · Tutor por 8 anos

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Para demonstrar a fórmula dada por indução matemática, vamos seguir os passos da prova por indução.<br /><br />Passo 1: Base da indução<br />Vamos verificar a fórmula para o caso base, ou seja, quando n = 1.<br />Substituindo n = 1 na fórmula, temos:<br />1.2 = 1(1+1)(1+2)/3 = 1(2)(3)/3 = 2<br />Portanto, a fórmula é verdadeira para n = 1.<br /><br />Passo 2: Passo da indução<br />Vamos supor que a fórmula seja verdadeira para algum inteiro k, ou seja, assumimos que:<br />1.2 + 2.3 + 3.4 +... + k(k+1) = k(k+1)(k+2)/3<br /><br />Agora, vamos tentar mostrar que a fórmula também é verdadeira para k+1, ou seja, queremos mostrar que:<br />1.2 + 2.3 + 3.4 +... + k(k+1) + (k+1)(k+2) = (k+1)(k+2)(k+3)/3<br /><br />Substituindo a suposição de indução na equação acima, temos:<br />k(k+1)(k+2)/3 + (k+1)(k+2) = (k+1)(k+2)(k+3)/3<br /><br />Agora, vamos simplificar a equação:<br />(k+1)(k+2)(k+3)/3 = (k+1)(k+2) + (k+1)(k+2)/3<br /><br />Multiplicando ambos os lados da equação por 3, temos:<br />(k+1)(k+2)(k+3) = 3(k+1)(k+2) + (k+1)(k+2)<br /><br />Agora, podemos fatorar (k+1)(k+2) em ambos os lados da equação:<br />(k+1)(k+2)(k+3) = (k+1)(k+2)(3 + 1)<br /><br />Simplificando a equação, temos:<br />(k+1)(k+2)(k+3) = (k+1)(k+2)(4)<br /><br />Cancelando (k+1)(k+2) em ambos os lados da equação, temos:<br />(k+3) = 4<br /><br />Portanto, a fórmula também é verdadeira para k+1.<br /><br />Passo 3: Conclusão<br />Como a fórmula é verdadeira para o caso base (n = 1) e também é verdadeira para k+1, assumindo que seja verdadeira para k, podemos concluir que a fórmula é verdadeira para todos os números inteiros n.<br /><br />Portanto, a fórmula 1.2 + 2.3 + 3.4 +... + n(n+1) = n(n+1)(n+2)/3 é verdadeira para todos os números inteiros n.
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