4- (3 pontos)Considere a seguinte função: f(x)=x^-2-2x a) Determine a f'(x) b) Determine int f(x)dx c) Determine: int _(-1)^1f(x)dx

a) Para determinar a derivada de $f(x)$, podemos usar a regra do produto e a regra da potência. A derivada de $x^{-2}$ é $-2x^{-3}$ e a derivada de $-2x$ é $-2$. Portanto, a derivada de $f(x)$ é:<br /><br />$f'(x) = -2x^{-3} - 2$<br /><br />b) Para determinar a integral de $f(x)$, podemos usar a técnica de integração por partes. Seja $u = x^{-1}$ e $dv = -2dx$. Então, $du = -x^{-2}dx$ e $v = -2x$. Aplicando a fórmula de integração por partes, temos:<br /><br />$\int f(x)dx = \int (x^{-2} - 2x)dx = \int x^{-2}dx - \int 2x dx = -x^{-1} - x^2 + C$<br /><br />c) Para determinar a integral definida de $f(x)$ no intervalo $[-1, 1]$, podemos usar a técnica de integração por partes novamente. Seja $u = x$ e $dv = f(x)dx$. Então, $du = dx$ e $v = \int f(x)dx = -x^{-1} - x^2$. Aplicando a fórmula de integração por partes, temos:<br /><br />$\int_{-1}^{1} f(x)dx = \int_{-1}} (x^{-2} - 2x)dx = \left[ -x^{-1} - x^2 \right]_{-1}^{1} = \left( -1^{-1} - 1^2 \right) - \left( -(-1)^{-1} - (-1)^2 \right) = -2 - 2 = -4$