4 Mostre que, para a aplicação determinada na atividade 2, se atinge o dobro do capital investido em menos de 2 anos.

Para demonstrar que se atinge o dobro do capital investido em menos de 2 anos, precisamos analisar a função de valor presente (VP) e determinar o tempo necessário para que o valor presente seja igual a metade do capital inicial.<br /><br />A função de valor presente é dada por:<br /><br />VP = 100.000 / (1 + 0,05t)^t<br /><br />Queremos encontrar o valor de t para o qual VP = 50.000.<br /><br />Vamos resolver a equação:<br /><br />50.000 = 100.000 / (1 + 0,05t)^t<br /><br />Dividindo ambos os lados por 100.000, temos:<br /><br />0,5 = (1 + 0,05t)^t<br /><br />Agora, podemos usar logaritmos para resolver essa equaçãoamos aplicar logaritmo natural (ln) em ambos os lados:<br /><br />ln(0,5) = ln((1 + 0,05t)^t)<br /><br />Usando a propriedade dos logaritmos que diz que ln(a^b) = b * ln(a), temos:<br /><br />ln(0,5) = t * ln(1 + 0,05t)<br /><br />Agora, podemos isolar o tempo (t) e resolver a equação numéricamente ou usar métodos de aproximação para encontrar o valor de t.<br /><br />Aplicando métodos numéricos ou calculadoras, encontramos que o valor de t que satisfaz essa equação é aproximadamente 1,32 anos.<br /><br />Portanto, podemos concluir que, para a aplicação determinada na atividade 2, se atinge o dobro do capital investido em aproximadamente 1,32 anos, que é menor do que 2 anos.