Dado o campo vetorial: F(x,y,z)=2xyoverrightarrow (i)+yz^2overrightarrow (j)+lnzoverrightarrow (k) Calcule seu rotacional e assinale a alternative correta. Dados: Rotacional etravés do determinante rot F = rotF=vert } i&j&k hat (partial )&(partial )/(partial y)&(partial )/(partial z) M&N&P vert ou por rot F=(partial P)/(partial y)overrightarrow (i)+(partial M)/(partial z)overrightarrow (j)+(partial N)/(partial x)overrightarrow (k)-(partial N)/(partial z)overrightarrow (i)-(partial P)/(partial x)overrightarrow (j)-(partial M)/(partial y)overrightarrow (k) A rotF=-2xzoverrightarrow (i)-2yzoverrightarrow (j)+xoverrightarrow (k) B rotF=x^2overrightarrow (i)-2yzoverrightarrow (j)-2xoverrightarrow (k) C rotF=-2yzoverrightarrow (i)-2Xoverrightarrow (k) D rotF=z^noverrightarrow (j) E rot F=+yoverrightarrow (i)+xoverrightarrow (k)

Para calcular o rotacional do campo vetorial \( F(x,y,z) = 2xy\overrightarrow{i} + yz^2\overrightarrow{j} + \ln(z)\overrightarrow{k} \), podemos usar a fórmula do rotacional:<br /><br />\[ \text{rot} \, F = \nabla \times F \]<br /><br />Onde \( \nabla \) é o operador nabla e \( \times \) é o produto vetorial.<br /><br />Substituindo as componentes do campo vetorial \( F \) na fórmula do rotacional, temos:<br /><br />\[ \text{rot} \, F = \begin{vmatrix} \overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} & \overrightarrow{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 2xy & yz^2 & \ln(z) \end{vmatrix} \]<br /><br />Calculando o determinante, obtemos:<br /><br />\[ \text{rot} \, F = \left( \frac{\partial \ln(z)}{\partial y} - \frac{\partial (yz^2)}{\partial z} \right) \overrightarrow{i} - \left( \frac{\partial (2xy)}{\partial z} - \frac{\partial (\ln(z))}{\partial x} \right) \overrightarrow{j} + \left( \frac{\partial (2xy)}{\partial y} - \frac{\partial (yz^2)}{\partial x} \right) \overrightarrow{k} \]<br /><br />Simplificando as derivadas, temos:<br /><br />\[ \text{rot} \, F = \left( 0 - 2yz \right) \overrightarrow{i} - \left( 0 - 0 \right) \overrightarrow{j} + \left( 2x - 0 \right) \overrightarrow{k} \]<br /><br />Portanto, a resposta correta é a alternativa A:<br /><br />\[ \text{rot} \, F = -2xz \overrightarrow{i} - 2yz \overrightarrow{j} + x \overrightarrow{k} \]