Seja uma elipse centrada na origem de focos A(0,-4) e B. Considere C(4,4) e P pontos sobre a elipse . Dado ponto D(3,2) , considere m a distância de D a P e n a distância de P a um dos focos. 0 menor valor possivel de m+n é: (a) 2cdot (2+(sqrt (5))/(2)) (b) (2+(sqrt (5))/(2)) (c) 2cdot (2-(sqrt (5))/(2)) (d) 2cdot (2+sqrt (5)) (e) (2+sqrt (5))

Para resolver essa questão, precisamos utilizar a definição de elipse e as propriedades dos focos.<br /><br />Sabemos que a elipse é centrada na origem e tem focos em A(0,-4) e B(0,4). Portanto, a distância entre os focos é 8 unidades.<br /><br />Considerando o ponto C(4,4) e os pontos P sobre a elipse, queremos encontrar o menor valor possível de m + n, onde m é a distância de D(3,2) a P e n é a distância de P a um dos focos.<br /><br />Podemos utilizar a propriedade da elipse que diz que a soma das distâncias de qualquer ponto sobre a elipse aos dois focos é constante e igual ao comprimento da maior e menor extremidade da elipse.<br /><br />Nesse caso, a maior extremidade da elipse é a distância entre os focos, que é 8 unidades. A menor extremidade da elipse é a distância entre o centro da elipse e um dos focos, que é 4 unidades.<br /><br />Portanto, o menor valor possível de m + n é igual ao comprimento da maior extremidade da elipse, que é 8 unidades.<br /><br />Assim, a resposta correta é a opção (d) $2\cdot (2+\sqrt {5})$.