16. Dados os pontos A(-1,0,2), B(-4,1,1) e C(0,1,3) determinar o vetor overrightarrow (x) tal que 2overrightarrow (x)-overrightarrow (AB)=overrightarrow (x)+(overrightarrow (BC)cdot overrightarrow (AB))cdot overrightarrow (AC)

Para resolver essa equação, vamos primeiro calcular os vetores \(\overrightarrow{AB}\) e \(\overrightarrow{BC}\).<br /><br />\(\overrightarrow{AB} = B - A = (-4,1,1) - (-1,0,2) = (-3,1,-1)\)<br /><br />\(\overrightarrow{BC} = C - B = (0,1,3) - (-4,1,1) = (4,0,2)\)<br /><br />Agora, vamos calcular o produto escalar \(\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{AB}\):<br /><br />\(\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{AB} = (4,0,2) \cdot (-3,1,-1) = 4 \cdot (-3) + 0 \cdot 1 + 2 \cdot (-1) = -12 - 2 = -14\)<br /><br />Agora, vamos substituir esses valores na equação original:<br /><br />\(2\overrightarrow{x} - \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{x} + (-14) \cdot \overrightarrow{AC}\)<br /><br />Para isolar \(\overrightarrow{x}\), vamos reorganizar a equação:<br /><br />\(2\overrightarrow{x} - \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{x} - 14\overrightarrow{AC}\)<br /><br />\(2\overrightarrow{x} - \overrightarrow{x} = \overrightarrow{AB} - 14\overrightarrow{AC}\)<br /><br />\(\overrightarrow{x} = \overrightarrow{AB} - 14\overrightarrow{AC}\)<br /><br />Agora, vamos calcular o vetor \(\overrightarrow{AC}\):<br /><br />\(\overrightarrow{AC} = C - A = (0,1,3) - (-1,0,2) = (1,1,1)\)<br /><br />Substituindo \(\overrightarrow{AC}\) na equação:<br /><br />\(\overrightarrow{x} = \overrightarrow{AB} - 14\overrightarrow{AC}\)<br /><br />\(\overrightarrow{x} = (-3,1,-1) - 14(1,1,1)\)<br /><br />\(\overrightarrow{x} = (-3,1,-1) - (14,14,14)\)<br /><br />\(\overrightarrow{x} = (-17,-13,-15)\)<br /><br />Portanto, o vetor \(\overrightarrow{x}\) é \((-17,-13,-15)\).