31. (UFMG) Os números reais 3, a e b são, nessa ordem, termos consecutivos de uma progres- são aritmética cuja razão é positiva. Por sua vez, os números reais a,be 8 são, também nessa ordem, termos consecutivos de uma progressão geométrica. Determine aeb.

Para resolver esse problema, precisamos utilizar as fórmulas de uma progressão aritmética e uma progressão geométrica.<br /><br />Uma progressão aritmética é uma sequência de números em que a diferença entre termos consecutivos é constante. Essa diferença é chamada de razão.<br /><br />Uma progressão geométrica é uma sequência de números em que a razão entre termos consecutivos é constante. Essa razão é chamada de razo.<br /><br />Vamos analisar as informações fornecidas:<br /><br />1. Os números 3, a e b são termos consecutivos de uma progressão aritmética com razão positiva.<br />2. Os números a, b e 8 são termos consecutivos de uma progressão geométrica.<br /><br />Vamos utilizar a fórmula do termo geral de uma progressão aritmética:<br /><br />an = a1 + (n-1)r<br /><br />Onde an é o termo geral, a1 é o primeiro termo, n é a posição do termo na sequência e r é a razão.<br /><br />Utilizando a fórmula do termo geral, podemos escrever as seguintes equações:<br /><br />3 + (1)r = a<br />a + (1)r = b<br /><br />Simplificando as equações, temos:<br /><br />r = a - 3<br />r = b - a<br /><br />Agora, vamos utilizar a fórmula do termo geral de uma progressão geométrica:<br /><br />an = a1 * r^(n-1)<br /><br />Onde an é o termo geral, a1 é o primeiro termo, n é a posição do termo na sequência e r é a razão.<br /><br />Utilizando a fórmula do termo geral, podemos escrever as seguintes equações:<br /><br />a * r^(1-1) = a<br />b * r^(2-1) = a * r<br />8 * r^(3-1) = a * r^2<br /><br />Simplificando as equações, temos:<br /><br />a = a<br />br = a * r<br />8r^2 = a * r^2<br /><br />Podemos substituir a primeira equação na segunda:<br /><br />br = (b - 3)r + 3r<br />br = br + 6r<br />8r^2 = (b - 3)r + 3r<br />8r^2 = br + 6r<br /><br />Podemos substituir a segunda equação na terceira:<br /><br />8r^2 = 8r^2<br /><br />Portanto, a única solução possível é r = 3. Substituindo esse valor na primeira equação, temos:<br /><br />a - 3 = 3<br />a = 6<br /><br />Substituindo esse valor na segunda equação, temos:<br /><br />b - 6 = 3<br />b = 9<br /><br />Portanto, a = 6 e b = 9.