determine seu domínio e imagem. f(x)= ) vert xvert ,&xlt -1 x^2-1,&-1leqslant xlt 1 2x,&xgt 1

Para determinar o domínio da função \( f(x) \), precisamos identificar os valores de \( x \) para os quais a função está definida. Neste caso, a função está definida para três intervalos diferentes:<br /><br />1. \( x < -1 \)<br />2. \( -1 \leqslant x < 1 \)<br />3. \( x > 1 \)<br /><br />Portanto, o domínio da função \( f(x) \) é \( \mathbb{R} \), ou seja, todos os números reais.<br /><br />Agora, vamos determinar a imagem da função \( f(x) \). Para isso, precisamos analisar os valores que a função pode assumir em cada intervalo:<br /><br />1. Para \( x < -1 \), a função é \( |x| \). Como \( x \) é negativo, \( |x| \) será positivo. Portanto, a imagem nesse intervalo é \( (0, +\infty) \).<br />2. Para \( -1 \leqslant x < 1 \), a função é \( x^2 - 1 \). Quando \( x = -1 \), \( f(x) = (-1)^2 - 1 = 0 \). À medida que \( x \) se aproxima de 1, \( f(x) \) se aproxima de -1. Portanto, a imagem nesse intervalo é \( [-1, 0) \).<br />3. Para \( x > 1 \), a função é \( 2x \). Como \( x \) é positivo, \( 2x \) também será positivo. Portanto, a imagem nesse intervalo é \( (2, +\infty) \).<br /><br />Somando as imagens de cada intervalo, obtemos a imagem total da função \( f(x) \), que é \( (-\infty, +\infty) \).