1. Resolva a equação diferencial dada e quando for o caso obtenha a solução do PMI. a) 4y''+y'=0

Para resolver a equação diferencial dada, podemos usar o método da decomposição em fatores. Primeiro, reescrevemos a equação diferencial na forma padrão:<br /><br />$4y'' + y' = 0$<br /><br />Podemos observar que a equação é uma equação diferencial linear de segundo ordem. Para resolver essa equação, podemos usar o método da decomposição em fatores.<br /><br />Dividimos ambos os termos por $y'$ para obter:<br /><br />$\frac{4y''}{y'} + 1 = 0$<br /><br />Agora, podemos decompor essa expressão em fatores:<br /><br />$4y'' + y' + y' = 0$<br /><br />$4y'' + 2y' = 0$<br /><br />Podemos fatorar $2y'$ da equação:<br /><br />$2y'(4y' + 1) = 0$<br /><br />Agora, podemos resolver essa equação igualando cada fator a zero:<br /><br />$2y' = 0$ ou $4y' + 1 = 0$<br /><br />Resolvendo a primeira equação, temos:<br /><br />$y' = 0$<br /><br />Isso implica que $y$ é uma constante. Vamos chamar essa constante de $C_1$.<br /><br />Resolvendo a segunda equação, temos:<br /><br />$4y' + 1 = 0$<br /><br />$4y' = -1$<br /><br />$y' = -\frac{1}{4}$<br /><br />Podemos integrar essa derivada para obter a solução geral da equação diferencial:<br /><br />$\int y' \, dx = \int -\frac{1}{4} \, dx$<br /><br />$y(x) = -\frac{1}{4}x + C_2$<br /><br />Portanto, a solução geral da equação diferencial é:<br /><br />$y(x) = C_1 + -\frac{1}{4}x + C_2$<br /><br />onde $C_1$ e $C_2$ são constantes arbitrárias.