Limites é um assunto que utilizamos bastante em Cálculo, mas na Análise Matemática ele ganha um sentido mais abstrato. Marque a alternativa que justifica se podernos usar a definição de limite para provar que lim _(xarrow 16)sqrt (x)=4 A prova é válida,pois encontramos cleqslant (sqrt (x)+4) B A prova é válida.pois encontramos ygeqslant (sqrt (x)+4) A prova não é válida, pois não é possivel encontrar um valor para delta C D A prova é válida.pois encontramos delta geqslant 16varepsilon E A provaé válida, pois encontramos delta leqslant 16varepsilon

resposta correta é a alternativa E: "A prova é válida, pois encontramos $\delta \leqslant 16\varepsilon $".<br /><br />Para provar que $\lim _{x\rightarrow 16}\sqrt {x}=4$ usando a definição de limite, precisamos mostrar que para qualquer número positivo $\varepsilon$, podemos encontrar um número positivo $\delta$ tal que se $0 < |x - 16| < \delta$, então $|\sqrt{x} - 4| < \varepsilon$.<br /><br />Vamos analisar a expressão $|\sqrt{x} - 4|$. Podemos reescrevê-la como $|\sqrt{x} - 4| = \frac{|\sqrt{x} - 4|}{1} = \frac{|\sqrt{x} - 4|}{|\sqrt{x} + 4|} = \frac{|x - 16|}{|\sqrt{x} + 4|}$.<br /><br />Queremos que $\frac{|x - 16|}{|\sqrt{x} + 4|} < \varepsilon$, ou seja, $|x - 16| < \varepsilon |\sqrt{x} + 4|$. Como $\sqrt{x} + 4 > 0$, podemos multiplicar ambos os lados da desigualdade por $\frac{1}{|\sqrt{x} + 4|}$, obtendo $|x - 16| < \varepsilon |\sqrt{x} + 4|$. Portanto, podemos escolher $\delta = \varepsilon |\sqrt{x} + 4|$. Assim, se $0 < |x - 16| < \delta$, então $|\sqrt{x} - 4| < \varepsilon$, o que significa que $\lim _{x\rightarrow 16}\sqrt {x}=4$.