vert x^2-1vert +vert x-1vert =0

Para resolver a equação $\vert x^{2}-1\vert +\vert x-1\vert =0$, precisamos considerar as possíveis situações em que as expressões dentro dos valores absolutos podem ser positivas ou negativas.<br /><br />Vamos analisar cada caso:<br /><br />Caso 1: Se $x^{2}-1 \geq 0$ e $x-1 \geq 0$, então $\vert x^{2}-1\vert = x^{2}-1$ e $\vert x-1\vert = x-1$. Substituindo essas expressões na equação, temos:<br /><br />$x^{2}-1 + x-1 = 0$<br /><br />Simplificando a equação, temos:<br /><br />$x^{2} + x - 2 = 0$<br /><br />Fatorando a equação, temos:<br /><br />$(x+2)(x-1) = 0$<br /><br />Portanto, as soluções para esse caso são $x = -2$ e $x = 1$.<br /><br />Caso 2: Se $x^{2}-1 < 0$ e $x-1 \geq 0$, então $\vert x^{2}-1\vert = -(x^{2}-1)$ e $\vert x-1\vert = x-1$. Substituindo essas expressões na equação, temos:<br /><br />$-(x^{2}-1) + x-1 = 0$<br /><br />Simplificando a equação, temos:<br /><br />$-x^{2} + x + 2 = 0$<br /><br />Multiplicando toda a equação por -1, temos:<br /><br />$x^{2} - x - 2 = 0$<br /><br />Fatorando a equação, temos:<br /><br />$(x-2)(x+1) = 0$<br /><br />Portanto, as soluções para esse caso são $x = 2$ e $x = -1$.<br /><br />Caso 3: Se $x^{2}-1 < 0$ e $x-1 < 0$, então $\vert x^{2}-1\vert = -(x^{2}-1)$ e $\vert x-1\vert = -(x-1)$. Substituindo essas expressões na equação, temos:<br /><br />$-(x^{2}-1) - (x-1) = 0$<br /><br />Simplificando a equação, temos:<br /><br />$-x^{2} - x + 2 = 0$<br /><br />Multiplicando toda a equação por -1, temos:<br /><br />$x^{2} + x - 2 = 0$<br /><br />Fatorando a equação, temos:<br /><br />$(x+2)(x-1) = 0$<br /><br />Portanto, as soluções para esse caso são $x = -2$ e $x = 1$.<br /><br />Analisando todos os casos, podemos concluir que as soluções para a equação $\vert x^{2}-1\vert +\vert x-1\vert =0$ são $x = -2$ e $x = 1$.