2. Dado um quadrado ABCD, de lado a, marcam-se os pontos E sobreolado AB F sobre lado BC, G sobre o lado CD e H sobre o lado AD, de modo que os segmentos formados AE, BF, CG, e DH tenham comprimento igual a (3a)/(4) A área do novo quadrilátero formado pelas interseções dos segmentos AF BG, CH, e DE mede: a) (a^2)/(25) b) (a^2)/(18) c) (a^2)/(16) d) (a^2)/(9) e) (2a^2)/(9)

Para resolver esse problema, vamos analisar o quadrado ABCD e os pontos E, F, G e H que foram marcados nos lados do quadrado.<br /><br />Dado que os segmentos AE, BF, CG e DH têm comprimento igual a $\frac{3a}{4}$, podemos observar que esses segmentos dividem os lados do quadrado em partes iguais.<br /><br />Vamos calcular a área do novo quadrilátero formado pelas interseções dos segmentos AF, BG, CH e DE.<br /><br />Primeiro, vamos encontrar as coordenadas dos pontos E, F, G e H em relação às coordenadas do quadrado ABCD.<br /><br />Suponhamos que as coordenadas do quadrado ABCD sejam:<br />A(0, 0), B(a, 0), C(a, a) e D(0, a)<br /><br />Então, as coordenadas dos pontos E, F, G e H serão:<br />E($\frac{3a}{4}$, 0), F(a, $\frac{3a}{4}$), G(a, $\frac{7a}{4}$) e H(0, $\frac{3a}{4}$)<br /><br />Agora, vamos encontrar as equações das retas que passam pelos pontos E, F, G e H.<br /><br />A equação da reta que passa pelos pontos E e F é:<br />y = $\frac{3a}{4a}$ * x = $\frac{3}{4}$ * x<br /><br />A equação da reta que passa pelos pontos G e H é:<br />y = $\frac{7a}{4a}$ * x = $\frac{7}{4}$ * x<br /><br />A equação da reta que passa pelos pontos E e H é:<br />y = $\frac{3a}{4a}$ * x = $\frac{3}{4}$ * x<br /><br />A equação da reta que passa pelos pontos F e G é:<br />y = $\frac{7a}{4a}$ * x = $\frac{7}{4}$ * x<br /><br />Agora, vamos encontrar as interseções dessas retas.<br /><br />A interseção das retas y = $\frac{3}{4}$ * x e y = $\frac{7}{4}$ * x é o ponto F(a, $\frac{3a}{4}$).<br /><br />A interseção das retas y = $\frac{3}{4}$ * x e y = $\frac{3}{4}$ * x é o ponto E($\frac{3a}{4}$, 0).<br /><br />A interseção das retas y = $\frac{7}{4}$ * x e y = $\frac{7}{4}$ * x é o ponto G(a, $\frac{7a}{4}$).<br /><br />A interseção das retas y = $\frac{3}{4}$ * x e y = $\frac{7}{4}$ * x é o ponto H(0, $\frac{3a}{4}$).<br /><br />Portanto, as coordenadas dos pontos de interseção são:<br />F(a, $\frac{3a}{4}$), E($\frac{3a}{4}$, 0), G(a, $\frac{7a}{4}$) e H(0, $\frac{3a}{4}$).<br /><br />A área do novo quadrilátero formado pelas interseções dos segmentos AF, BG, CH e DE é igual à soma das áreas dos quadrados formados pelos pontos de interseção.<br /><br />A área do quadrado formado pelos pontos F, G e H é:<br />$\frac{a^2}{16}$<br /><br />A área do quadrado formado pelos pontos E, F e H é:<br />$\frac{a^2}{9}$<br /><br />A área do quadrado formado pelos pontos E, G e D é:<br />$\frac{a^2}{16}$<br /><br />Portanto, a área total do novo quadrilátero é:<br />$\frac{a^2}{16} + \frac{a^2}{9} + \frac{a^2}{16} = \frac{2a^2}{16} + \frac{a^2}{9} = \frac{a^2}{8} + \frac{a^2}{9} = \frac{9a^2 + 8a^2}{72} = \frac{17a^2}{72}$<br /><br />Portanto, a resposta correta é a opção e) $\frac{2a^2}{9}$.