custo total, em reais, de uma empresa para a produção de x unidades de um certo produto é de C(x)=5x^2+3x+10 Sabendo que o nível atual de produção é de 30 unidades, utilize a aproximação linear para determinar o custo total se 30,5 unidades forem produzidas.

Para utilizar a aproximação linear, precisamos encontrar a derivada da função de custo $C(x)$ em relação a $x$.<br /><br />A derivada de $C(x)$ em relação a $x$ é dada por $C'(x) = 10x + 3$.<br /><br />A derivada nos diz a taxa de variação do custo em relação à quantidade de unidades produzidas. Em outras palavras, ela nos diz o custo adicional de produzir uma unidade a mais.<br /><br />Agora, podemos usar a derivada para encontrar a aproximação linear do custo total em $x = 30,5$ unidades.<br /><br />A aproximação linear é dada por $C(30,5) \approx C(30) + C'(30) \cdot (30,5 - 30)$.<br /><br />Substituindo os valores conhecidos, temos:<br /><br />$C(30,5) \approx C(30) + C'(30) \cdot (30,5 - 30)$<br /><br />$C(30,5) \approx 5(30)^2 + 3(30) + 10 + (10(30) + 3) \cdot (30,5 - 30)$<br /><br />$C(30,5) \approx 5(900) + 90 + 10 + (300 + 3) \cdot 0,5$<br /><br />$C(30,5) \approx 4500 + 90 + 10 + 303 \cdot 0,5$<br /><br />$C(30,5) \approx 4600 + 151,5$<br /><br />$C(30,5) \approx 4751,5$<br /><br />Portanto, utilizando a aproximação linear, o custo total se 30,5 unidades forem produzidas é de aproximadamente 4751,5 reais.