__ 4. São dados pontos A, B e C, sendo que B fica entre A e Ce overline (AB)=overline (BC) Se Mé ponto médio de AB e Né ponto médio de BC mostre que overline (MN)=overline (AB).

Vamos corrigir e detalhar a prova:<br /><br />Dado que \( \overline{AB} = \overline{BC} \) e que M é o ponto médio de \( \overline{AB} \) e N é o ponto médio de \( \overline{BC} \), queremos mostrar que \( \overline{MN} = \overline{AB} \).<br /><br />Primeiro, vamos definir as coordenadas dos pontos A, B e C. Sem perda de generalidade, podemos colocar o ponto A em (0, 0), o ponto B em (a, 0) e o ponto C em (2a, 0), onde \( a > 0 \).<br /><br />Como M é o ponto médio de \( \overline{AB} \), suas coordenadas são:<br />\[ M = \left( \frac{0 + a}{2}, \frac{0 + 0}{2} \right) = \left( \frac{a}{2}, 0 \right) \]<br /><br />Da mesma forma, N é o ponto médio de \( \overline{BC} \), então suas coordenadas são:<br />\[ N = \left( \frac{a + 2a}{2}, \frac{0 + 0}{2} \right) = \left( \frac{3a}{2}, 0 \right) \]<br /><br />Agora, vamos calcular a distância \( \overline{MN} \) usando a fórmula da distância entre dois pontos no plano cartesiano:<br />\[ \overline{MN} = \sqrt{ \left( \frac{3a}{2} - \frac{a}{2} \right)^2 + (0 - 0)^2 } = \sqrt{ \left( \frac{3a}{2} - \frac{a}{2} \right)^2 } = \sqrt{ \left( \frac{2a}{2} \right)^2 } = \sqrt{ a^2 } = a \]<br /><br />Portanto, \( \overline{MN} = a \), que é exatamente a distância \( \overline{AB} \).<br /><br />Assim, concluímos que \( \overline{MN} = \overline{AB} \).