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Matemática
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Determine a noluacio geral da EDO separánel: a. (d y)/(d x)=(x-5)/(y^2)

Pergunta

Determine a noluacio geral da EDO separánel:
a. (d y)/(d x)=(x-5)/(y^2)

Determine a noluacio geral da EDO separánel: a. (d y)/(d x)=(x-5)/(y^2)

Solução

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RubenProfissional · Tutor por 6 anos

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Para determinar a solução geral da EDO separável \( \frac{dy}{dx} = \frac{x-5}{y^2} \), vamos seguir os seguintes passos:<br /><br />1. **Separar as variáveis**:<br /> \[<br /> y^2 \, dy = (x-5) \, dx<br /> \]<br /><br />2. **Integrar ambos os lados**:<br /> \[<br /> \int y^2 \, dy = \int (x-5) \, dx<br /> \]<br /><br />3. **Resolver as integrais**:<br /> \[<br /> \int y^2 \, dy = \frac{y^3}{3} + C_1<br /> \]<br /> \[<br /> \int (x-5) \, dx = \frac{(x-5)^2}{2} + C_2<br /> \]<br /><br />4. **Combinar as constantes**:<br /> \[<br /> \frac{y^3}{3} = \frac{(x-5)^2}{2} + C<br /> \]<br /> onde \( C = C_2 - C_1 \) é uma constante de integração.<br /><br />5. **Expressar a solução geral**:<br /> \[<br /> y^3 = 3C + 2(x-5)^2<br /> \]<br /><br />Portanto, a solução geral da EDO separável é:<br />\[<br />y^3 = 3C + 2(x-5)^2<br />\]<br />onde \( C \) é uma constante de integração.
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