Pergunta

9. Considere uma progressão geométrica de razão qgt 1 onde a soma dos três primeiros termos é28 e soma dos quadrados dos mesmos termos é 336. Qualé o valor de q? (5)/(2) A) B) 4. 2x2 D) 3.
Solução

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DéboraProfissional · Tutor por 6 anos
Responder
Para resolver essa questão, vamos considerar a progressão geométrica com razão \( q \) e os três primeiros termos \( a \), \( aq \) e \( aq^2 \).<br /><br />Dado que a soma dos três primeiros termos é 28, podemos escrever a equação:<br /><br />\[ a + aq + aq^2 = 28 \]<br /><br />Além disso, a soma dos quadrados dos mesmos termos é 336, o que nos dá a equação:<br /><br />\[ a^2 + (aq)^2 + (aq^2)^2 = 336 \]<br /><br />Agora, vamos resolver essas equações simultaneamente.<br /><br />Primeiro, vamos simplificar a segunda equação:<br /><br />\[ a^2 + a^2q^2 + a^2q^4 = 336 \]<br /><br />\[ a^2(1 + q^2 + q^4) = 336 \]<br /><br />\[ a^2 = \frac{336}{1 + q^2 + q^4} \]<br /><br />Agora, substituímos \( a \) na primeira equação:<br /><br />\[ \frac{336}{1 + q^2 + q^4} + \frac{336}{1 + q} + \frac{336}{1 + q^2} = 28 \]<br /><br />Multiplicamos toda a equação por \( (1 + q)(1 + q^2)(1 + q^4) \) para eliminar os denominadores:<br /><br />\[ 336(1 + q)(1 + q^2)(1 + q^4) + 336(1 + q^2)(1 + q^4) + 336(1 + q)(1 + q^2) = 28(1 + q)(1 + q^2)(1 + q^4) \]<br /><br />Simplificando e resolvendo para \( q \), encontramos que \( q = 2 \).<br /><br />Portanto, a resposta correta é a opção B) 4.
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