on Determinar todas as soluçōes inteiras das seguintes equações diofantinas lineares: a) 56x+72y=40 b) 13x-7y=21

Vamos resolver as equações diofantinas lineares dadas:<br /><br />a) \(56x + 72y = 40\)<br /><br />Primeiro, simplificamos a equação dividindo todos os termos por 8:<br /><br />\[7x + 9y = 5\]<br /><br />Agora, vamos encontrar uma solução particular usando o método de eliminação. Podemos começar encontrando um valor para \(x\) em termos de \(y\):<br /><br />\[x = \frac{5 - 9y}{7}\]<br /><br />Para encontrar soluções inteiras, \(y\) deve ser escolhido de tal forma que \(x\) seja um número inteiro. Vamos testar alguns valores de \(y\):<br /><br />Se \(y = 0\), então \(x = \frac{5}{7}\), que não é inteiro.<br /><br />Se \(y = 1\), então \(x = \frac{5 - 9(1)}{7} = \frac{-4}{7}\), que não é inteiro.<br /><br />Se \(y = 2\), então \(x = \frac{5 - 9(2)}{7} = \frac{-13}{7}\), que não é inteiro.<br /><br />Se \(y = 3\), então \(x = \frac{5 - 9(3)}{7} = \frac{-22}{7}\), que não é inteiro.<br /><br />Se \(y = 4\), então \(x = \frac{5 - 9(4)}{7} = \frac{-31}{7}\), que não é inteiro.<br /><br />Se \(y = 5\), então \(x = \frac{5 - 9(5)}{7} = \frac{-40}{7}\), que não é inteiro.<br /><br />Se \(y = 6\), então \(x = \frac{5 - 9(6)}{7} = \frac{-49}{7} = -7\ é inteiro.<br /><br />Portanto, uma solução particular é \(x = -7\) e \(y = 6\). Podemos verificar que essa solução satisfaz a equação original:<br /><br />\[56(-7) + 72(6) = -392 + 432 = 40\]<br /><br />A solução geral pode ser escrita como:<br /><br />\[x = -7 + 9k\]<br />\[y = 6 - 7k\]<br /><br />onde \(k\) é um inteiro.<br /><br />b) \(13x - 7y = 21\)<br /><br />Vamos encontrar uma solução particular usando o método de eliminação. Podemos começar encontrando um valor para \(x\) em termos de \(y\):<br /><br />\[x = \frac{21 + 7y}{13}\]<br /><br />Para encontrar soluções inteiras, \(y\) deve ser escolhido de tal forma que \(x\) seja um número inteiro. Vamos testar alguns valores de \(y\):<br /><br />Se \(y = 0\), então \(x = \frac{21}{13}\), que não é inteiro.<br /><br />Se \(y = 1\), então \(x = \frac{21 + 7(1)}{13} = \frac{28}{13}\), que não é inteiro.<br /><br />Se \(y = 2\), então \(x = \frac{21 + 7(2)}{13} = \frac{35}{13}\), que não é inteiro.<br /><br />Se \(y = 3\), então \(x = \frac{21 + 7(3)}{13} = \frac{42}{13}\), que não é inteiro.<br /><br />Se \(y = 4\), então \(x = \frac{21 + 7(4)}{13} = \frac{49}{13}\), que não é inteiro.<br /><br />Se \(y = 5\), então \(x = \frac{21 + 7(5)}{13} = \frac{56}{13}\), que não é inteiro.<br /><br />Se \(y = 6\), então \(x = \frac{21 + 7(6)}{13} = \frac{63}{13}\), que não é inteiro.<br /><br />Se \(y = 7\), então \(x = \frac{21 + 7(7)}{13} = \frac{70}{13}\), que não é inteiro.<br /><br />Se \(y = 8\), então \(x = \frac{21 + 7(8)}{13} = \frac{77}{13}\), que não é inteiro.<br /><br />Se \(y = 9\), então \(x = \frac{21 + 7(9)}{13} = \frac{84}{13}\), que não é inteiro.<br /><br />Se \(y = 10\), então \(x = \frac