Pergunta
![Soit la fonction f définie sur
0;(pi )/(2)] par
f(x)=(1)/(sinx)
1. Montrer que f réalise une bijection
de 0;(pi )/(2)] vers un intervalle J à
déterminer.
2. On désigne par g la fonction
reciproque de f, calcuer g(1)
g(sqrt (2)) et g(2)
3. Montrer que g est dérivable sur
]1;+infty [ et que g'(x)=(-1)/(xsqrt (x^2)-1)](https://static.questionai.br.com/resource%2Fqaiseoimg%2F202501%2Fsoit-la-fonction-f-dfinie-sur0pi-2-parfx1sinx1-montrer-tGZ8Sh4yHz0V.jpg?x-oss-process=image/resize,w_558,h_500/quality,q_35/format,webp)
Soit la fonction f définie sur 0;(pi )/(2)] par f(x)=(1)/(sinx) 1. Montrer que f réalise une bijection de 0;(pi )/(2)] vers un intervalle J à déterminer. 2. On désigne par g la fonction reciproque de f, calcuer g(1) g(sqrt (2)) et g(2) 3. Montrer que g est dérivable sur ]1;+infty [ et que g'(x)=(-1)/(xsqrt (x^2)-1)
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DouglasVeterano · Tutor por 9 anos
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1. Pour montrer que f réalise une bijection de $0;\frac {\pi }{2}]$ vers un intervalle J, nous devons prouver deux choses : l'injectivité et la surjectivité de f.<br /><br />- L'injectivité : Pour montrer que f est injective, nous devons prouver que si $x_1$ et $x_2$ sont deux éléments distincts de $0;\frac {\pi }{2}]$ tels que $f(x_1) = f(x_2)$, alors $x_1 = x_2$. Considérons $x_1$ et $x_2$ tels que $f(x_1) = f(x_2)$. Cela signifie que $\frac{1}{\sin(x_1)} = \frac{1}{\sin(x_2)}$. En inversant les deux côtés, nous obtenons $\sin(x_1) = \sin(x_2)$. Puisque $x_1$ et $x_2$ sont dans l'intervalle $0;\frac {\pi }{2}]$, cela implique que $x_1 = x_2$. Ainsi, f est injective.<br /><br />- La surjectivité : Pour montrer que f est surjective, nous devons prouver que pour tout $y$ dans l'intervalle J, il existe un $x$ dans $0;\frac {\pi }{2}]$ tel que $f(x) = y$. Considérons un $y$ dans l'intervalle J. Nous devons trouver un $x$ dans $0;\frac {\pi }{2}]$ tel que $f(x) = y$. Cela signifie que $\frac{1}{\sin(x)} = y$. En inversant les deux côtés, nous obtenons $\sin(x) = \frac{1}{y}$. Puisque $y$ est dans l'intervalle J, cela signifie que $\frac{1}{y}$ est dans l'intervalle $(1, +\infty)$. Ainsi, il existe un $x$ dans $0;\frac {\pi }{2}]$ tel que $f(x) = y$. Ainsi, f est surjective.<br /><br />L'intervalle J est donc $(1, +\infty)$.<br /><br />2. Pour calculer $g(1)$, $g(\sqrt{2})$ et $g(2)$, nous devons d'abord définir la fonction g comme la fonction réciproque de f. Cela signifie que $g(x) = \frac{1}{f(x)} = \sin(x)$. Ainsi, $g(1) = \sin(1)$, $g(\sqrt{2}) = \sin(\sqrt{2})$ et $g(2) = \sin(2)$.<br /><br />3. Pour montrer que g est dérivable sur $]1;+\infty[$, nous devons utiliser la règle de la dérivation de la fonction composée. La dérivée de g est donnée par $g'(x) = \cos(x)$. Ainsi, $g'(x) = \cos(x)$.
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