Uma formiga encontra-se sobre uma placa metálica cuja temperatura é dada por T(x,y)=8-2x^2+3y em graus Celsius Assinale a alternativa que apresenta a variação de temperatura sentida pela formiga se ela estiver no ponto (2,3) e se mover na direção do vetor (-(1)/(sqrt (2)),(1)/(sqrt (2))) (12)/(sqrt (2))^circ C b. (15)/(sqrt (2))^circ C c. (11)/(sqrt (2))^circ C d. (10)/(sqrt (2))^circ C ) e. (9)/(sqrt (2))^circ C

Para encontrar a variação de temperatura sentida pela formiga, precisamos calcular a derivada direcional da função \( T(x, y) \) na direção do vetor \( \mathbf{v} = (-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}) \).<br /><br />Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de \( T(x, y) \):<br /><br />\[ \frac{\partial T}{\partial x} = -4x \]<br />\[ \frac{\partial T}{\partial y} = 3 \]<br /><br />A derivada direcional de \( T \) na direção de \( \mathbf{v} \) é dada por:<br /><br />\[ \nabla_{\mathbf{v}} T = \frac{\partial T}{\partial x} \cdot \frac{v_x}{\|\mathbf{v}\|} + \frac{\partial T}{\partial y} \cdot \frac{v_y}{\|\mathbf{v}\|} \]<br /><br />Onde \( v_x \) e \( v_y \) são as componentes do vetor \( \mathbf{v} \) e \( \|\mathbf{v}\| \) é a norma do vetor \( \mathbf{v} \).<br /><br />Substituindo as derivadas parciais e as componentes do vetor \( \mathbf{v} \):<br /><br />\[ \nabla_{\mathbf{v}} T = (-4x) \cdot \frac{-1}{\sqrt{2}} + 3 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \]<br /><br />Agora, substituímos \( x = 2 \) e \( y = 3 \) na expressão:<br /><br />\[ \nabla_{\mathbf{v}} T = (-4 \cdot 2) \cdot \frac{-1}{\sqrt{2}} + 3 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \]<br />\[ \nabla_{\mathbf{v}} T = -8 \cdot \frac{-1}{\sqrt{2}} + 3 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \]<br />\[ \nabla_{\mathbf{v}} T = \frac{8}{\sqrt{2}} + \frac{3}{\sqrt{2}} \]<br />\[ \nabla_{\mathbf{v}} T = \frac{11}{\sqrt{2}} \]<br /><br />Portanto, a variação de temperatura sentida pela formiga é \( \frac{11}{\sqrt{2}} \) graus Celsius.<br /><br />A alternativa correta é:<br /><br />c. \( \frac{11}{\sqrt{2}}^{\circ}C \)