1) Prove que as funções a seguir são diferenciáveis nos pontos indicados e encontre linearização L nesses pontos. a) f(x,y)=1+xln(xy-5) b) f(x,y)=x^3y^4 c) f(x,y)=(x)/(x+y) d) f(x,y)=sqrt (x+e^4y)

a) Para a função \( f(x,y) = 1 + x \ln(xy - 5) \), vamos calcular as derivadas parciais em relação a \( x \) e \( y \) e verificar se são contínuas nos pontos indicados.<br /><br />\[<br />\frac{\partial f}{\partial x} = \ln(xy - 5) + \frac{x}{xy - 5}<br />\]<br /><br />\[<br />\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x^2}{xy - 5}<br />\]<br /><br />Para que a função seja diferenciável, as derivadas parciais devem ser contínuas. Vamos verificar isso nos pontos \( (0, 5) \) e \( (5, 0) \).<br /><br />No ponto \( (0, 5) \):<br /><br />\[<br />\frac{\partial f}{\partial x}(0, 5) = \ln(0 - 5) + \frac{0}{0 - 5} = \text{indeterminado}<br />\]<br /><br />Portanto, a função não é diferenciável no ponto \( (0, 5) \).<br /><br />No ponto \( (5, 0) \):<br /><br />\[<br />\frac{\partial f}{\partial x}(5, 0) = \ln(5 \cdot 0 - 5) + \frac{5}{5 \cdot 0 - 5} = \text{indeterminado}<br />\]<br /><br />Portanto, a função não é diferenciável no ponto \( (5, 0) \).<br /><br />b) Para a função \( f(x,y) = x^3 y^4 \), as derivadas parciais são:<br /><br />\[<br />\frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2 y^4<br />\]<br /><br />\[<br />\frac{\partial f}{\partial y} = 4x^3 y^3<br />\]<br /><br />As derivadas parciais são polinomiais, portanto, são contínuas em todos os pontos. Assim, a função é diferenciável em todos os pontos.<br /><br />A linearização \( L(x, y) \) em um ponto \( (x_0, y_0) \) é dada por:<br /><br />\[<br />L(x, y) = f(x_0, y_0) + \frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0)(x - x_0) + \frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0)(y - y_0)<br />\]<br /><br />c) Para a função \( f(x,y) = \frac{x}{x+y} \), as derivadas parciais são:<br /><br />\[<br />\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1}{x+y} - \frac{x}{(x+y)^2}<br />\]<br /><br />\[<br />\frac{\partial f}{\partial y} = -\frac{x}{(x+y)^2}<br />\]<br /><br />As derivadas parciais são contínuas em todos os pontos, exceto em \( y = -x \), onde a função não está definida. Portanto, a função é diferenciável em todos os pontos, exceto em \( y = -x \).<br /><br />d) Para a função \( f(x,y) = \sqrt{x + e^{4y}} \), as derivadas parciais são:<br /><br />\[<br />\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1}{2\sqrt{x + e^{4y}}}<br />\]<br /><br />\[<br />\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{4e^{4y}}{2\sqrt{x + e^{4y}}}<br />\]<br /><br />As derivadas parciais são contínuas em todos os pontos. Portanto, a função é diferenciável em todos os pontos.<br /><br />A linearização \( L(x, y) \) em um ponto \( (x_0, y_0) \) é dada por:<br /><br />\[<br />L(x, y) = f(x_0, y_0) + \frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0)(x - x_0) + \frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0)(y - y_0)<br />\]