4) Considere a reg ião retangular R=[-1,2]times [0,3] e a função f(x,y)=4y^3 Assinale a alt ernativa qu e contém o và lor da integral d upla da f unção dad a sobre a região R. Alternativas: a) 100 b) 173 C 243 d) 261 e) 299

Para calcular a integral dupla da função \( f(x, y) = 4y^3 \) sobre a região \( R = [-1, 2] \times [0, 3] \), precisamos integrar a função em relação a \( x \) e \( y \) dentro dos limites da região.<br /><br />A integral dupla é dada por:<br /><br />\[ \iint_R f(x, y) \, dx \, dy = \int_{0}^{3} \int_{-1}^{2} 4y^3 \, dx \, dy \]<br /><br />Primeiro, integramos em relação a \( x \):<br /><br />\[ \int_{-1}^{2} 4y^3 \, dx = 4y^3 \int_{-1}^{2} dx = 4y^3 [x]_{-1}^{2} = 4y^3 (2 - (-1)) = 4y^3 \cdot 3 = 12y^3 \]<br /><br />Agora, integramos em relação a \( y \):<br /><br />\[ \int_{0}^{3} 12y^3 \, dy = 12 \int_{0}^{3} y^3 \, dy = 12 \left[ \frac{y^4}{4} \right]_{0}^{3} = 12 \cdot \frac{3^4}{4} - 12 \cdot \frac{0^4}{4} = 12 \cdot \frac{81}{4} = 12 \cdot 20.25 = 243 \]<br /><br />Portanto, o valor da integral dupla da função \( f(x, y) = 4y^3 \) sobre a região \( R \) é 243.<br /><br />A alternativa correta é:<br /><br />c) 243