DETERMINE nabla f DAS SEGUINTS FUNÇÖES. f(x, y)=operatorname(sen)(y x^2) d) f(x, y)=e^x y

Para determinar o gradiente \( \nabla f \) das funções dadas, vamos calcular as derivadas parciais em relação a \( x \) e \( y \).<br /><br />a) \( f(x, y) = \operatorname{sen}(yx^2) \)<br /><br />Para calcular o gradiente, precisamos encontrar as derivadas parciais em relação a \( x \) e \( y \).<br /><br />A derivada parcial em relação a \( x \) é dada por:<br />\[ \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \operatorname{sen}(yx^2) \]<br /><br />Aplicando a regra da cadeia, temos:<br />\[ \frac{\partial f}{\partial x} = \cos(yx^2) \cdot 2x \]<br /><br />A derivada parcial em relação a \( y \) é dada por:<br />\[ \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \operatorname{sen}(yx^2) \]<br /><br />Aplicando a regra da cadeia, temos:<br />\[ \frac{\partial f}{\partial y} = \cos(yx^2) \cdot x^2 \]<br /><br />Portanto, o gradiente \( \nabla f \) é dado por:<br />\[ \nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right) = \left( 2x \cos(yx^2), x^2 \cos(yx^2) \right) \]<br /><br />b) \( f(x, y) = e^{xy} \)<br /><br />Para calcular o gradiente, precisamos encontrar as derivadas parciais em relação a \( x \) e \( y \).<br /><br />A derivada parcial em relação a \( x \) é dada por:<br />\[ \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} e^{xy} \]<br /><br />Aplicando a regra da cadeia, temos:<br />\[ \frac{\partial f}{\partial x} = y e^{xy} \]<br /><br />A derivada parcial em relação a \( y \) é dada por:<br />\[ \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} e^{xy} \]<br /><br />Aplicando a regra da cadeia, temos:<br />\[ \frac{\partial f}{\partial y} = x e^{xy} \]<br /><br />Portanto, o gradiente \( \nabla f \) é dado por:<br />\[ \nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right) = \left( y e^{xy}, x e^{xy} \right) \]<br /><br />Espero que isso ajude! Se tiver mais alguma dúvida, sinta-se à vontade para perguntar.