Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função f(x)= x^3+3^x no ponto (1,4) . Use ela para aproximar o valor da função em x=1,1

Para determinar a equação da reta tangente ao gráfico da função \( f(x) = x^3 + 3^x \) no ponto \( (1, 4) \), precisamos encontrar a derivada da função e usar o ponto dado para encontrar a inclinação da reta tangente.<br /><br />A derivada de \( f(x) \) é dada por:<br /><br />\[ f'(x) = 3x^2 + 3^x \ln(3) \]<br /><br />A inclinação da reta tangente no ponto \( (1, 4) \) é dada por \( f'(1) \):<br /><br />\[ f'(1) = 3(1)^2 + 3^1 \ln(3) = 3 + 3 \ln(3) \]<br /><br />A equação da reta tangente é dada por:<br /><br />\[ y - y_1 = m(x - x_1) \]<br /><br />onde \( m \) é a inclinação da reta tangente e \( (x_1, y_1) \) é o ponto dado. Substituindo \( m = 3 + 3 \ln(3) \) e \( (x_1, y_1) = (1, 4) \), obtemos:<br /><br />\[ y - 4 = (3 + 3 \ln(3))(x - 1) \]<br /><br />Simplificando, temos:<br /><br />\[ y = (3 + 3 \ln(3))(x - 1) + 4 \]<br /><br />Para aproximar o valor da função em \( x = 1,1 \), podemos usar a equação da reta tangente:<br /><br />\[ y \approx (3 + 3 \ln(3))(1,1 - 1) + 4 \]<br /><br />\[ y \approx 4 \]<br /><br />Portanto, a equação da reta tangente é \( y = (3 + 3 \ln(3))(x - 1) + 4 \) e o valor aproximado da função em \( x = 1,1 \) é \( y \approx 4 \).