Determine as assintotas horizontais e verticais do gráfico de f(x)=(3x-2)/(1-x)

Para determinar as assíntotas horizontais e verticais do gráfico de \( f(x) = \frac{3x-2}{1-x} \), vamos analisar o comportamento da função quando \( x \) tende a infinito e quando \( x \) tende a valores que tornam o denominador zero.<br /><br />### Assíntotas Verticais<br /><br />As assíntotas verticais ocorrem onde o denominador da função é igual a zero, pois a função não está definida nesses pontos. Para encontrar as assíntotas verticais, resolvemos a equação:<br /><br />\[ 1 - x = 0 \]<br /><br />Portanto, \( x = 1 \). Assim, a função tem uma assíntota vertical em \( x = 1 \).<br /><br />### Assíntotas Horizontais<br /><br />As assíntotas horizontais são encontradas observando o comportamento da função quando \( x \) tende a infinito (\( x \to \infty \)) ou menos infinito (\( x \to -\infty \)). Para isso, dividimos os termos do numerador e do denominador pelo maior grau de \( x \) presente no denominador:<br /><br />\[ f(x) = \frac{3x-2}{1-x} = \frac{3 - \frac{2}{x}}{1 - \frac{1}{x}} \]<br /><br />Quando \( x \to \infty \) ou \( x \to -\ \), os termos \(\frac{2}{x}\) e \(\frac{1}{x}\) tendem a zero. Assim, a função se aproxima de:<br /><br />\[ f(x) \approx \frac{3 - 0}{1 - 0} = \frac{3}{1} = 3 \]<br /><br />Portanto, a função tem uma assíntota horizontal em \( y = 3 \).<br /><br />### Conclusão<br /><br />- A assíntota vertical é em \( x = 1 \).<br />- A assíntota horizontal é em \( y = 3 \).