pt Determine int xcos(x)dxcint xln(x)dx

Para resolver a integral \(\int x \cos(x) \, dx\), podemos usar a técnica de integração por partes. A fórmula de integração por partes é:<br /><br />\[<br />\int u \, dv = uv - \int v \, du<br />\]<br /><br />Para aplicar essa fórmula, precisamos escolher \(u\) e \(dv\). Vamos escolher:<br /><br />\[<br />u = x \quad \text{e} \quad dv = \cos(x) \, dx<br />\]<br /><br />Agora, precisamos encontrar \(du\) e \(v\):<br /><br />\[<br />du = dx \quad \text{e} \quad v = \sin(x)<br />\]<br /><br />Agora, aplicamos a fórmula de integração por partes:<br /><br />\[<br />\int x \cos(x) \, dx = x \sin(x) - \int \sin(x) \, dx<br />\]<br /><br />Sabemos que:<br /><br />\[<br />\int \sin(x) \, dx = -\cos(x)<br />\]<br /><br />Portanto:<br /><br />\[<br />\int x \cos(x) \, dx = x \sin(x) + \cos(x) + C<br />\]<br /><br />onde \(C\) é a constante de integração.<br /><br />Para resolver a integral \(\int x \ln(x) \, dx\), também podemos usar a técnica de integração por partes. Vamos escolher:<br /><br />\[<br />u = \ln(x) \quad \text{e} \quad dv = x \, dx<br />\]<br /><br />Agora, precisamos encontrar \(du\) e \(v\):<br /><br />\[<br />du = \frac{1}{x} \, dx \quad \text{e} \quad v = \frac{x^2}{2}<br />\]<br /><br />Agora, aplicamos a fórmula de integração por partes:<br /><br />\[<br />\int x \ln(x) \, dx = \ln(x) \cdot \frac{x^2}{2} - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} \, dx<br />\]<br /><br />Simplificando:<br /><br />\[<br />\int x \ln(x) \, dx = \frac{x^2 \ln(x)}{2} - \int \frac{x}{2} \, dx<br />\]<br /><br />A integral \(\int \frac{x}{2} \, dx\) é simplesmente:<br /><br />\[<br />\int \frac{x}{2} \, dx = \frac{1}{2} \int x \, dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^2}{2} = \frac{x^2}{4}<br />\]<br /><br />Portanto:<br /><br />\[<br />\int x \ln(x) \, dx = \frac{x^2 \ln(x)}{2} - \frac{x^2}{4} + C<br />\]<br /><br />onde \(C\) é a constante de integração.