8) [ int operatorname(sen)^5 x d x ]

Para resolver a integral \(\int \operatorname{sen}^{5} x \, dx\), podemos usar uma técnica chamada de integração por partes. Vamos começar expressando \(\operatorname{sen}^{5} x\) em termos de potências de \(\operatorname{sen} x\) e \(\operatorname{cos} x\).<br /><br />Podemos escrever \(\operatorname{sen}^{5} x\) como \(\operatorname{sen} x \cdot \operatorname{sen}^{4} x\). Em seguida, podemos usar a identidade trigonométrica \(\operatorname{sen}^{2} x = \frac{1 - \operatorname{cos} 2x}{2}\) para expressar \(\operatorname{sen}^{4} x\) em termos de \(\operatorname{cos} x\).<br /><br />Aplicando a identidade, temos:<br /><br />\[<br />\operatorname{sen}^{4} x = \left(\frac{1 - \operatorname{cos} 2x}{2}\right)^{2} = \frac{1 - 2\operatorname{cos} 2x + \operatorname{cos}^{2} 2x}{4}<br />\]<br /><br />Agora, podemos substituir isso na integral original:<br /><br />\[<br />\int \operatorname{sen}^{5} x \, dx = \int \operatorname{sen} x \cdot \frac{1 - 2\operatorname{cos} 2x + \operatorname{cos}^{2} 2x}{4} \, dx<br />\]<br /><br />Podemos simplificar ainda mais a expressão dentro da integral:<br /><br />\[<br />\int \operatorname{sen} x \cdot \frac{1 - 2\operatorname{cos} 2x + \operatorname{cos}^{2} 2x}{4} \, dx = \frac{1}{4} \int \operatorname{sen} x (1 - 2\operatorname{cos} 2x + \operatorname{cos}^{2} 2x) \, dx<br />\]<br /><br />Agora, podemos usar a técnica de integração por partes para resolver a integral. Vamos escolher \(u = \operatorname{sen} x\) e \(dv = (1 - 2\operatorname{cos} 2x + \operatorname{cos}^{2} 2x) \, dx\).<br /><br />Aplicando a fórmula de integração por partes, temos:<br /><br />\[<br />\int \operatorname{sen} x (1 - 2\operatorname{cos} 2x + \operatorname{cos}^{2} 2x) \, dx = \operatorname{sen} x \int (1 - 2\operatorname{cos} 2x + \operatorname{cos}^{2} 2x) \, dx - \int \left(\frac{d}{dx} (\operatorname{sen} x) \int (1 - 2\operatorname{cos} 2x + \operatorname{cos}^{2} 2x) \, dx\right) \, dx<br />\]<br /><br />Simplificando a expressão, temos:<br /><br />\[<br />\int \operatorname{sen} x (1 - 2\operatorname{cos} 2x + \operatorname{cos}^{2} 2x) \, dx = \operatorname{sen} x \left(x - \operatorname{sin} 2x + \frac{\operatorname{cos} 2x}{2}\right) - \int \left(-\operatorname{cos} x \left(x - \operatorname{sin} 2x + \frac{\operatorname{cos} 2x}{2}\right)\right) \, dx<br />\]<br /><br />Finalmente, podemos simplificar ainda mais a expressão e obter a resposta final:<br /><br />\[<br />\int \operatorname{sen}^{5} x \, dx = -\frac{1}{8} \operatorname{cos} x + \frac{1}{16} \operatorname{cos} 3x + \frac{1}{32} \operatorname{cos} 5x + C<br />\]<br /><br />onde \(C\) é a constante de integração.