Questão 8 Para resolver integrais duplas de forma precisa, é essencial identificar os limites de integração apropriados para as variáveis x e y associadas, garantindo assim uma caracterização correta da região de integração. Considere a região retangular R=[-1,2]times [0,3] e a função f(x,y)=3y^2 Assinale a alternativa que contém 0 valor da integral dupla da função dada sobre a região R. A 81. B. 3. C. 54. D. 27. E 108.

Para resolver a integral dupla da função \( f(x, y) = 3y^2 \) sobre a região retangular \( R = [-1, 2] \times [0, 3] \), precisamos calcular a seguinte integral:<br /><br />\[ \iint_R 3y^2 \, dA \]<br /><br />Primeiro, escrevemos a integral em termos de integrais simples:<br /><br />\[ \int_{-1}^{2} \int_{0}^{3} 3y^2 \, dy \, dx \]<br /><br />Calculamos a integral interna em relação a \( y \):<br /><br />\[ \int_{0}^{3} 3y^2 \, dy = 3 \left[ \frac{y^3}{3} \right]_{0}^{3} = 3 \left( \frac{3^3}{3} - \frac{0^3}{3} \right) = 3 \left( \frac{27}{3} \right) = 3 \times 9 = 27 \]<br /><br />Agora, integramos essa resultante em relação a \( x \):<br /><br />\[ \int_{-1}^{2} 27 \, dx = 27 \left[ x \right]_{-1}^{2} = 27 (2 - (-1)) = 27 \times 3 = 81 \]<br /><br />Portanto, o valor da integral dupla da função \( f(x, y) = 3y^2 \) sobre a região \( R \) é 81.<br /><br />A alternativa correta é:<br /><br />A. 81.