pollnomos, sendo um deles do 3^circ grau. 4. (OLIMP/ADA DE MATEMATICA O Número 4sqrt (4-2sqrt (3))+sqrt (97-56sqrt (3)) é inteiro?

Para determinar se o número \(4\sqrt{4-2\sqrt{3}} + \sqrt{97-56\sqrt{3}}\) é inteiro, vamos simplificar cada termo separadamente.<br /><br />Primeiro, vamos simplificar \(4\sqrt{4-2\sqrt{3}}\):<br /><br />\[ 4\sqrt{4-2\sqrt{3}} = 4\sqrt{(\sqrt{3} - 1)^2} = 4(\sqrt{3} - 1) = 4\sqrt{3} - 4 \]<br /><br />Agora, vamos simplificar \(\sqrt{97-56\sqrt{3}}\):<br /><br />Vamos supor que \(\sqrt{97-56\sqrt{3}} = \sqrt{a} - \sqrt{b}\), onde \(a\) e \(b\) são números inteiros. Então:<br /><br />\[ (\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 = 97 - 56\sqrt{3} \]<br /><br />\[ a + b = 97 \]<br />\[ -2\sqrt{ab} = -56\sqrt{3} \]<br /><br />\[ \sqrt{ab} = 28\sqrt{3} \]<br /><br />\[ ab = 28^2 \cdot 3 = 7056 \]<br /><br />Agora, precisamos encontrar \(a\) e \(b\) tais que \(a + b = 97\) e \(ab = 7056\). Resolvendo a equação quadrática:<br /><br />\[ t^2 - 97t + 7056 = 0 \]<br /><br />Usando a fórmula de Bhaskara:<br /><br />\[ t = \frac{97 \pm \sqrt{97^2 - 4 \cdot 7056}}{2} \]<br /><br />\[ t = \frac{97 \pm \sqrt{9409 - 28224}}{2} \]<br /><br />\[ t = \frac{97 \pm \sqrt{-18815}}{2} \]<br /><br />Como a raiz quadrada de um número negativo não é um número real, isso significa que não há soluções reais para \(a\) e \(b\). Portanto, \(\sqrt{97-56\sqrt{3}}\) não pode ser simplificado para números inteiros.<br /><br />Portanto, a expressão \(4\sqrt{4-2\sqrt{3}} + \sqrt{97-56\sqrt{3}}\) não é um número inteiro.