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Verificar se o conjunto F= (x,y)in R^2:y=2x é um subespaço de R^2 . caso não seja,identificar quais axiomas são violados.

Pergunta

Verificar se o conjunto F= (x,y)in R^2:y=2x  é um subespaço de R^2 . caso não seja,identificar
quais axiomas são violados.

Verificar se o conjunto F= (x,y)in R^2:y=2x é um subespaço de R^2 . caso não seja,identificar quais axiomas são violados.

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ArthurMestre · Tutor por 5 anos

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Para verificar se o conjunto \( F = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : y = 2x \} \) é um subespaço de \( \mathbb{R}^2 \), precisamos verificar se ele satisfaz os três axiomas de um subespaço:<br /><br />1. O conjunto \( F \) contém o vetor nulo: O vetor nulo em \( \mathbb{R}^2 \) é o vetor (0, 0). Verificamos se (0, 0) pertence a \( F \). Substituindo \( x = 0 \) na equação \( y = 2x \), obtemos \( y = 0 \). Portanto, (0, 0) pertence a \( F \), e o primeiro axioma é satisfeito.<br /><br />2. Fechamento sob adição: Se \( (x_1, y_1) \) e \( (x_2, y_2) \) pertencem a \( F \), então \( (x_1, y_1) + (x_2, y_2) \) também deve pertencer a \( F \). Vamos verificar isso. Se \( (x_1, y_1) \) e \( (x_2, y_2) \) pertencem a \( F \), então \( y_1 = 2x_1 \) e \( y_2 = 2x_2 \). Somando os vetores, obtemos \( (x_1 + x_2, y_1 + y_2) \). Agora, verificamos se \( y_1 + y_2 = 2(x_1 + x_2) \). Substituindo \( y_1 = 2x_1 \) e \( y_2 = 2x_2 \), obtemos \( 2x_1 + 2x_2 = 2(x_1 + x_2) \), que é verdadeiro. Portanto, \( (x_1 + x_2, y_1 + y_2) \) pertence a \( F \), e o segundo axioma é satisfeito.<br /><br />3. Fechamento sob multiplicação por escalar: Se \( (x, y) \) pertence a \( F \) e \( c \) é um escalar, então \( (c \cdot x, c \cdot y) \) também deve pertencer a \( F \). Vamos verificar isso. Se \( (x, y) \) pertence a \( F \), então \( y = 2x \). Multiplicando o vetor por um escalar \( c \), obtemos \( (c \cdot x, c \cdot y) \). Agora, verificamos se \( c \cdot y = 2(c \cdot x) \). Substituindo \( y = 2x \), obtemos \( c \cdot (2x) = 2(c \cdot x) \), que é verdadeiro. Portanto, \( (c \cdot x, c \cdot y) \) pertence a \( F \), e o terceiro axioma é satisfeito.<br /><br />Como o conjunto \( F \) satisfaz todos os três axiomas, podemos concluir que \( F \) é um subespaço de \( \mathbb{R}^2 \).
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