2. Cálculo do limite lim _(xarrow 0)(1+3x)^(1)/(x)

Para calcular o limite \(\lim_{x \to 0} (1 + 3x)^{\frac{1}{x}}\), podemos usar a mudança de variável e a propriedade dos limites de potências.<br /><br />Primeiro, vamos reescrever a expressão usando logaritmos. Seja \( y = (1 + 3x)^{\frac{1}{x}} \). Então, \(\ln y = \ln (1 + 3x)^{\frac{1}{x}}\).<br /><br />Usando a propriedade dos logaritmos, temos:<br />\[<br />\ln y = \frac{\ln (1 + 3x)}{x}<br />\]<br /><br />Agora, vamos calcular o limite de \(\frac{\ln (1 + 3x)}{x}\) quando \(x \to 0\). Podemos usar a regra de L'Hôpital para isso, pois \(\frac{\ln (1 + 3x)}{x}\) é uma forma indeterminada \(\frac{0}{0}\).<br /><br />A derivada de \(\ln (1 + 3x)\) é \(\frac{3}{1 + 3x}\), e a derivada de \(x\) é 1. Então, aplicando a regra de L'Hôpital, temos:<br />\[<br />\lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + 3x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{3}{1 + 3x}}{1} = \lim_{x \to 0} \frac{3}{1 + 3x} = 3<br />\]<br /><br />Portanto, \(\ln y \to 3\) quando \(x \to 0\). Assim, \(y \to e^3\).<br /><br />Portanto, o limite é:<br />\[<br />\lim_{x \to 0} (1 + 3x)^{\frac{1}{x}} = e^3<br />\]