Um engenheiro está projetando um sistema de controle de temperatura para uma camara de restriamento. O comportamento da temperatura y(t) ao longo do tempo té modelado pela equação diferencial: (dy)/(dt)-4y=8 com a condição inicial y(0)=-1 engenheiro precisa prever a temperatura dentro da camara após alguns minutos para ajustar o sistema de resfriamento adequadamente. Com base nesse modelo, determine o valor da temperatura y(t) após 2 minutos. 2.207 .392 154,795 373,187 262,991 2.978,958

Para resolver a equação diferencial dada, podemos usar o método da resposta de Laplace. Primeiro, vamos encontrar a transformada de Laplace da função $y(t)$, denotada por $Y(s)$.<br /><br />A equação diferencial dada é:<br />$\frac {dy}{dt}-4y=8$<br /><br />Tomando a transformada de Laplace em ambos os lados da equação, temos:<br />$sY(s)-sy(0)-4Y(s)=\frac{8}{s}$<br /><br />Substituindo a condição inicial $y(0)=-1$, temos:<br />$sY(s)-(-1)-4Y(s)=\frac{8}{s}$<br /><br />Simplificando a expressão, temos:<br />$sY(s)+1-4Y(s)=\frac{8}{s}$<br /><br />Reorganizando os termos, temos:<br />$-3Y(s)+1=\frac{8}{s}$<br /><br />Isolando $Y(s)$, temos:<br />$Y(s)=\frac{1}{3}+\frac{8}{3s}$<br /><br />Agora, podemos encontrar a função $y(t)$ invertendo a transformada de Laplace de $Y(s)$.<br /><br />A transformada de Laplace de $\frac{1}{s}$ é $1$, e a transformada de Laplace de $\frac{1}{s^2}$ é $\frac{1}{2}$. Portanto, podemos usar a propriedade da transformada de Laplace de $Y(s)$ para encontrar $y(t)$.<br /><br />$y(t)=\mathcal{L}^{-1}\{Y(s)\}=\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{3}+\frac{8}{3s}\right\}$<br /><br />Usando a propriedade da transformada de Laplace de $Y(s)$, temos:<br />$y(t)=\frac{1}{3}+8t$<br /><br />Agora, podemos substituir $t=2$ para encontrar o valor da temperatura após 2 minutos:<br />$y(2)=\frac{1}{3}+8(2)=\frac{1}{3}+16=\frac{49}{3}\approx16,333$<br /><br />Portanto, o valor da temperatura $y(t)$ após 2 minutos é aproximadamente 16,333.