4) Use o método da bissecção para encontrar um valor aproximado da raiz quadrada de 5. com erro menor ou igual a 0,01 . (4,0 pontos)

O método da bissecção é um método numérico para encontrar raízes de funções contínuas. Para encontrar a raiz quadrada de 5, podemos definir a função \( f(x) = x^2 - 5 \). Queremos encontrar o valor de \( x \) tal que \( f(x) = 0 \).<br /><br />1. Escolhemos um intervalo inicial [a, b] onde sabemos que a raiz está contida. Neste caso, podemos escolher [2, 3], pois \( 2^2 = 4 \) e \( 3^2 = 9 \), e sabemos que \( \sqrt{5} \) está entre 2 e 3.<br /><br />2. Calculamos o ponto médio do intervalo: \( m = \frac{a + b}{2} \).<br /><br />3. Avaliamos a função no ponto médio: \( f(m) \).<br /><br />4. Se \( |f(m)| \leq 0,01 \), então \( m \) é uma boa aproximação da raiz e paramos.<br /><br />5. Caso contrário, verificamos o sinal de \( f(a) \cdot f(m) \):<br /> - Se for negativo, a raiz está no intervalo [a, m], então atualizamos \( b = m \).<br /> - Se for positivo, a raiz está no intervalo [m, b], então atualizamos \( a = m \).<br /><br />6. Repetimos os passos 2 a 5 até que a condição de erro seja satisfeita.<br /><br />Vamos aplicar o método:<br /><br />1. Intervalo inicial: [2, 3]<br />2. Primeiro ponto médio: \( m_1 = \frac{2 + 3}{2} = 2,5 \)<br />3. Avaliando a função: \( f(2,5) = 2,5^2 - 5 = 6,25 - 5 = 1,25 \)<br /> - Como \( f(2) \cdot f(2,5) < 0 \), atualizamos \( b = 2,5 \)<br /><br />4. Novo intervalo: [2, 2,5]<br />5. Segundo ponto médio: \( m_2 = \frac{2 + 2,5}{2} = 2,25 \)<br />6. Avaliando a função: \( f(2,25) = 2,25^2 - 5 = 5,0625 - 5 = 0,0625 \)<br /> - Como \( f(2) \cdot f(2,25) < 0 \), atualizamos \( b = 2,25 \)<br /><br />7. Novo intervalo: [2, 2,25]<br />8. Terceiro ponto médio: \( m_3 = \frac{2 + 2,25}{2} = 2,125 \)<br />9. Avaliando a função: \( f(2,125) = 2,125^2 - 5 = 4,515625 - 5 = -0,484375 \)<br /> - Como \( f(2,125) \cdot f(2,25) < 0 \), atualizamos \( a = 2,125 \)<br /><br />10. Novo intervalo: [2,125, 2,25]<br />11. Quarto ponto médio: \( m_4 = \frac{2,125 + 2,25}{2} = 2,1875 \)<br />12. Avaliando a função: \( f(2,1875) = 2,1875^2 - 5 = 4,78515625 - 5 = -0,21484375 \)<br /> - Como \( f(2,1875) \cdot f(2,25) < 0 \), atualizamos \( a = 2,1875 \)<br /><br />13. Novo intervalo: [2,1875, 2,25]<br />14. Quinto ponto médio: \( m_5 = \frac{2,1875 + 2,25}{2} = 2,21875 \)<br />15. Avaliando a função: \( f(2,21875) = 2,21875^2 - 5 = 4,923828125 - 5 = -0,076171875 \)<br /> - Como \( f(2,21875) \cdot f(2,25) < 0 \), atualizamos \( a = 2,21875 \)<br /><br />16. Novo intervalo: [2,21875, 2,25]<br />17. Sexto ponto médio: \( m_6 = \frac{2,21875 + 2,25}{2} = 2,234375 \)<br />18. Avaliando a função: \( f(2,234375) = 2,234375^2 - 5 = 4,9931640625 - 5 = -0,0068359375 \)<br /><br />Como \( |f(2,234375)| \leq 0,01 \), concluímos que uma boa aproximação para a raiz quadrada de 5 com erro menor ou igual a 0,01 é aproximadamente 2,234375.