Dados os vetores overrightarrow (u)=(2,-4),overrightarrow (v)=(-5,1) C overrightarrow (w)=(-12,6) . determinar k_(1)ek_(2) tal que overrightarrow (u)=k_(1)overrightarrow (u)+k_(2)overrightarrow (v) Dados os pointos A(-1,3), B(1,0) e C(2,1) determinar D tal que overrightarrow (DC)=overrightarrow (BA)

Para determinar os valores de \( k_1 \) e \( k_2 \) que satisfazem a equação \( \overrightarrow{u} = k_1 \overrightarrow{u} + k_2 \overrightarrow{v} \), podemos igualar as coordenadas dos vetores.<br /><br />Dado que \( \overrightarrow{u} = (2, -4) \) e \( \overrightarrow{v} = (-5, 1) \), podemos escrever a equação como:<br /><br />\[ (2, -4) = k_1 (2, -4) + k_2 (-5, 1) \]<br /><br />Igualando as coordenadas, temos o sistema de equações:<br /><br />\[ 2 = 2k_1 - 5k_2 \]<br />\[ -4 = -4k_1 + k_2 \]<br /><br />Resolvendo esse sistema, encontramos \( k_1 = 1 \) e \( k_2 = 1 \).<br /><br />Portanto, \( k_1 = 1 \) e \( k_2 = 1 \).<br /><br />Para determinar o ponto \( D \) tal que \( \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{BA} \), podemos usar a propriedade de que a diferença de vetores é igual à diferença dos pontos correspondentes.<br /><br />Dado que \( A(-1, 3) \), \( B(1, 0) \) e \( C(2, 1) \), podemos calcular \( \overrightarrow{BA} \) e \( \overrightarrow{DC} \):<br /><br />\[ \overrightarrow{BA} = (A_x - B_x, A_y - B_y) = (-1 - 1, 3 - 0) = (-2, 3) \]<br /><br />Agora, sabemos que \( \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{BA} \), então podemos escrever:<br /><br />\[ \overrightarrow{DC} = (-2, 3) \]<br /><br />Como \( C(2, 1) \), podemos encontrar \( D \) usando a relação:<br /><br />\[ D_x = C_x + (-2) = 2 - 2 = 0 \]<br />\[ D_y = C_y + 3 = 1 + 3 = 4 \]<br /><br />Portanto, o ponto \( D \) é \( (0, 4) \).