Questão 11. Os números a e b são inteiros positivos tais que (a)/(11)+(b)/(3)=(31)/(33) Qual é o valor de a+b ? (A) 7 (B) 14 (C) 5 (D) 31 (E) 20

Para resolver essa questão, vamos primeiro simplificar a equação dada:<br /><br />\[<br />\frac{a}{11} + \frac{b}{3} = \frac{31}{33}<br />\]<br /><br />Multiplicando ambos os lados da equação por 33 para eliminar as frações, temos:<br /><br />\[<br />33 \cdot \frac{a}{11} + 33 \cdot \frac{b}{3} = 31<br />\]<br /><br />Simplificando, obtemos:<br /><br />\[<br />3a + 11b = 31<br />\]<br /><br />Agora, vamos verificar as opções fornecidas para encontrar a que satisfaz essa equação. Vamos testar a opção (B) 14:<br /><br />\[<br />3a + 11b = 31<br />\]<br /><br />Se \(a + b = 14\), então \(a = 14 - b\). Substituindo isso na equação original, temos:<br /><br />\[<br />3(14 - b) + 11b = 31<br />\]<br /><br />Simplificando, obtemos:<br /><br />\[<br />42 - 3b + 11b = 31<br />\]<br /><br />\[<br />42 + 8b = 31<br />\]<br /><br />\[<br />8b = 31 - 42<br />\]<br /><br />\[<br />8b = -11<br />\]<br /><br />\[<br />b = -\frac{11}{8}<br />\]<br /><br />Como \(b\) deve ser um número inteiro positivo, a opção (B) 14 não é válida. Vamos testar a opção (A) 7:<br /><br />\[<br />3a + 11b = 31<br />\]<br /><br />Se \(a + b = 7\), então \(a = 7 - b\). Substituindo isso na equação original, temos:<br /><br />\[<br />3(7 - b) + 11b = 31<br />\]<br /><br />Simplificando, obtemos:<br /><br />\[<br />21 - 3b + 11b = 31<br />\]<br /><br />\[<br />21 + 8b = 31<br />\]<br /><br />\[<br />8b = 31 - 21<br />\]<br /><br />\[<br />8b = 10<br />\]<br /><br />\[<br />b = \frac{10}{8} = \frac{5}{4}<br />\]<br /><br />Como \(b\) deve ser um número inteiro positivo, a opção (A) 7 também não é válida. Vamos testar a opção (C) 5:<br /><br />\[<br />3a + 11b = 31<br />\]<br /><br />Se \(a + b = 5\), então \(a = 5 - b\). Substituindo isso na equação original, temos:<br /><br />\[<br />3(5 - b) + 11b = 31<br />\]<br /><br />Simplificando, obtemos:<br /><br />\[<br />15 - 3b + 11b = 31<br />\]<br /><br />\[<br />15 + 8b = 31<br />\]<br /><br />\[<br />8b = 31 - 15<br />\]<br /><br />\[<br />8b = 16<br />\]<br /><br />\[<br />b = 2<br />\]<br /><br />Como \(b\) é um número inteiro positivo, a opção (C) 5 é válida. Portanto, a resposta correta é:<br /><br />(C) 5