I (OBMEP 2019) Os números a e b são inteiros positivos tais que (a)/(11)+(b)/(3)=(31)/(33) Qual é valor de a+b a) 5 c) 14 e) 31 b) 7 d) 20

Para resolver esta equação, podemos multiplicar ambos os lados por 33 para eliminar as frações:<br /><br />$33 \cdot \frac{a}{11} + 33 \cdot \frac{b}{3} = 31$<br /><br />Simplificando, temos:<br /><br />$3a + 11b = 31$<br /><br />Agora, podemos tentar encontrar valores inteiros positivos para a e b que satisfaçam essa equação. Vamos testar as opções dadas:<br /><br />a) 5: Se a = 5, então 3a = 15. Substituindo na equação, temos 15 + 11b = 31. Resolvendo para b, encontramos b = 2. Portanto, a + b = 5 + 2 = 7.<br /><br />b) 7: Se a = 7, então 3a = 21. Substituindo na equação, temos 21 + 11b = 31. Resolvendo para b, encontramos b = 1. Portanto, a + b = 7 + 1 = 8.<br /><br />c) 14: Se a = 14, então 3a = 42. Substituindo na equação, temos 42 + 11b = 31. Resolvendo para b, encontramos b = -1. Portanto, a + b = 14 - 1 = 13.<br /><br />d) 20: Se a = 20, então 3a = 60. Substituindo na equação, temos 60 + 11b = 31. Resolvendo para b, encontramos b = -5. Portanto, a + b = 20 - 5 = 15.<br /><br />e) 31: Se a = 31, então 3a = 93. Substituindo na equação, temos 93 + 11b = 31. Resolvendo para b, encontramos b = -6. Portanto, a + b = 31 - 6 = 25.<br /><br />Portanto, a única opção que satisfaz a equação é a opção b) 7.