Considere a reta r:(2x-1)/(3)=(1-y)/(2)=z+1 Exiba um ponto e um vetor diretor de r.

Para encontrar um ponto na reta \( r \), podemos escolher um valor para uma das variáveis e resolver as equações para as outras variáveis. Vamos escolher \( z = 0 \) e resolver para \( x \) e \( y \).<br /><br />Substituindo \( z = 0 \) na equação \( z + 1 = 0 \), temos \( y = -1 \). Agora, substituindo \( y = -1 \) na equação \( \frac{1-y}{2} = z + 1 \), temos \( \frac{1-(-1)}{2} = 0 + 1 \), que simplifica para \( 2 = 1 \), o que é uma contradição. Portanto, não é possível encontrar um ponto na reta \( r \) usando essa abordagem.<br /><br />Para encontrar um vetor diretor da reta \( r \), podemos usar a equação \( \frac{2x-1}{3} = \frac{1-y}{2} = z + 1 \). Podemos escolher uma das equações, por exemplo, \( \frac{2x-1}{3} = \frac{1-y}{2} \), e resolver x \) em termos de \( y \). Isso nos dá \( x = \frac{3(1-y)}{2} + \frac{1}{2} \). Agora, podemos escolher um valor para \( y \), por exemplo, \( y = 0 \), e encontrar o valor correspondente de \( x \). Substituindo \( y = 0 \) na equação \( x = \frac{3(1-y)}{2} + \frac{1}{2} \), temos \( x = \frac{3(1-0)}{2} + \frac{1}{2} = 2 \). Portanto, um ponto na reta \( r \) é \( (2, 0, 0) \).<br /><br />Agora, podemos encontrar o vetor diretor da reta \( r \) usando a equação \( \frac{2x-1}{3} = \frac{1-y}{2} = z + 1 \). Podemos escolher uma das equações, por exemplo, \( \frac{2x-1}{3} = \frac{1-y}{2} \), e derivar em relação a \( x \). Isso nos dá \( \frac{d}{dx} \left( \frac{2x-1}{3} \right) = \frac{d}{dx} \left( \frac{1-y}{2} \right) \). Resolvendo essa equação, encontramos \( \frac{2}{3} = -\frac{1}{2} \), o que é uma contradição. Portanto, não é possível encontrar um vetor diretor da reta \( r \) usando essa abordagem.<br /><br />Portanto, não é possível encontrar um ponto na reta \( r \) nem um vetor diretor usando as abordagens descritas.