Em um espaco métrico M uma sequência é dita ser de Cauchyse satisfizer: Dado A klt 0,exists n_(0)eN/m,ngeqslant n_(0)Longrightarrow d(x_(m),x_(n))lt e Dado B epsilon lt 0,exists n_(0)in N/m,ngeqslant n_(0)Longrightarrow d(x_(n),x_(n))neq k Dado C epsilon gt 0,3n_(0)in N/m,ngeqslant n_(0)Longrightarrow d(x_(n),x_(n))gt c Dado D xgt 0,exists n_(0)eN/m,ngeqslant n_(0)Longrightarrow d(x_(m),x_(n))lt x Dado I (B) epsilon gt 0,3r_(0)in N/m,nleqslant n_(0)Longrightarrow d(x_(n),x_(n))in R

Para resolver essa questão, precisamos analisar cada uma das condições fornecidas e determinar qual delas é verdadeira.<br /><br />Vamos começar pelas condições dadas:<br /><br />Dado A: $k < 0, \exists n_0 \in \mathbb{N}, n \geq n_0 \Longrightarrow d(x_m, x_n) < e$<br /><br />Dado B: $\epsilon < 0, \exists n_0 \in \mathbb{N}, n \geq n_0 \Longrightarrow d(x_n, x_n) \neq k$<br /><br />Dado C: $\epsilon > 0, \exists n_0 \in \mathbb{N}, n \geq n_0 \Longrightarrow d(x_n, x_n) > c$<br /><br />Dado D: $x > 0, \exists n_0 \in \mathbb{N}, n \geq n_0 \Longrightarrow d(x_m, x_n) < x$<br /><br />Dado I (B): $\epsilon > 0, \exists n_0 \in \mathbb{N}, n \leq n_0 \Longrightarrow d(x_n, x_n) \in \mathbb{R}$<br /><br />Analisando cada uma das condições:<br /><br />- A primeira condição (Dado A) afirma que existe um $n_0$ tal que, para todo $n \geq n_0$, a distância entre $x_m$ e $x_n$ é menor que $e$. Isso significa que a sequência é de Cauchy.<br /><br />- A segunda condição (Dado B) afirma que existe um $n_0$ tal que, para todo $n \geq n_0$, a distância entre $x_n$ e $x_n$ não é igual a $k$. No entanto, isso não faz sentido, pois a distância entre um ponto e ele mesmo é sempre zero.<br /><br />- A terceira condição (Dado C) afirma que existe um $n_0$ tal que, para todo $n \geq n_0$, a distância entre $x_n$ e $x_n$ é maior que $c$. Isso também não faz sentido, pois a distância entre um ponto e ele mesmo é sempre zero.<br /><br />- A quarta condição (Dado D) afirma que existe um $n_0$ tal que, para todo $n \geq n_0$, a distância entre $x_m$ e $x_n$ é menor que $x$. Isso significa que a sequência é de Cauchy.<br /><br />- A quinta condição (Dado I (B)) afirma que existe um $n_0$ tal que, para todo $n \leq n_0$, a distância entre $x_n$ e $x_n$ pertence aos números reais. Isso é verdadeiro para qualquer sequência, pois a distância entre um ponto e ele mesmo é sempre zero, que é um número real.<br /><br />Portanto, a condição que é verdadeira é a quinta condição (Dado I (B)).