Pergunta 1 ângulo entre os planos pi _(1):-x+z-12=0 e pi _(2):x+y-10=0 mede A 15 graus B 45 graus C 90 graus D 30 graus E 60 graus

Para determinar o ângulo entre dois planos, podemos usar o produto escalar de seus vetores normais. O produto escalar entre dois vetores é dado pela fórmula:<br /><br />\[ \vec{u} \cdot \vec{v} = u_x \cdot v_x + u_y \cdot v_y + u_z \cdot v_z \]<br /><br />Onde \(\vec{u}\) e \(\vec{v}\) são os vetores normais dos planos.<br /><br />Para o plano \(\pi_1: -x + z - 12 = 0\), o vetor normal é \(\vec{n_1} = \langle -1, 0, 1 \rangle\).<br /><br />Para o plano \(\pi_2: x + y - 10 = 0\), o vetorvec{n_2} = \langle 1, 1, 0 \rangle\).<br /><br />Calculando o produto escalar:<br /><br />\[ \vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (-1) \cdot 1 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 = -1 \]<br /><br />Para determinar o ângulo \(\theta\) entre os planos, usamos a fórmula:<br /><br />\[ \cos(\theta) = \frac{\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}}{\|\vec{n_1}\| \|\vec{n_2}\|} \]<br /><br />Calculando as normas dos vetores:<br /><br />\[ \|\vec{n_1}\| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{2} \]<br />\[ \|\vec{n_2}\| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{2} \]<br /><br />Substituindo na fórmula:<br /><br />\[ \cos(\theta) = \frac{-1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{-1}{2} \]<br /><br />Portanto, o ângulo \(\theta\) é:<br /><br />\[ \theta = \arccos\left(\frac{-1}{2}\right) = 120^\circ \]<br /><br />Como estamos procurando o ângulo entre os planos, devemos considerar o ângulo menor entre eles, que é:<br /><br />\[ 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \]<br /><br />Portanto, a resposta correta é:<br /><br />E) 60 graus