6. Dados os vetores overrightarrow (u)=(3,-1) e overrightarrow (v)=(-1,2) determinar o velor overrightarrow (EU) tal que (a) 4(overrightarrow (u)-overrightarrow (v))+(1)/(3)overrightarrow (w)=2overrightarrow (u)-overrightarrow (w) (b) 3overrightarrow (w)-(2overrightarrow (v)-overrightarrow (u))=2(4overrightarrow (v)-3overrightarrow (v)) (c) 5overrightarrow (w)+3overrightarrow (v)-2overrightarrow (u)-(2)/(3)(-3overrightarrow (w)+overrightarrow (u))-overrightarrow (v)

Vamos resolver cada item separadamente:<br /><br />(a) Para encontrar o vetor $\overrightarrow{w}$, podemos rearranjar a equação dada:<br /><br />$4(\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}) + \frac{1}{3}\overrightarrow{w} = 2\overrightarrow{u} - \overrightarrow{w}$<br /><br />Multiplicando ambos os lados por 3 para eliminar o denominador:<br /><br />$12(\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}) + \overrightarrow{w} = 6\overrightarrow{u} - 3\overrightarrow{w}$<br /><br />Simplificando:<br /><br />$12\overrightarrow{u} - 12\overrightarrow{v} + \overrightarrow{w} = 6\overrightarrow{u} - 3\overrightarrow{w}$<br /><br />Agrupando os termos semelhantes:<br /><br />$12\overrightarrow{u} - 6\overrightarrow{u} + \overrightarrow{w} + 3\overrightarrow{w} = 12\overrightarrow{v}$<br /><br />$6\overrightarrow{u} + 4\overrightarrow{w} = 12\overrightarrow{v}$<br /><br />Dividindo ambos os lados por 4:<br /><br />$\overrightarrow{w} = 3\overrightarrow{v} - 3\overrightarrow{u}$<br /><br />Substituindo os valores dos vetores $\overrightarrow{u}$ e $\overrightarrow{v}$:<br /><br />$\overrightarrow{w} = 3(-1, 2) - 3(3, -1)$<br /><br />$\overrightarrow{w} = (-3, 6) - (9, -3)$<br /><br />$\overrightarrow{w} = (-12, 9)$<br /><br />Portanto, o vetor $\overrightarrow{w}$ é $\overrightarrow{w} = (-12, 9)$.<br /><br />(b) Para encontrar o vetor $\overrightarrow{w}$, podemos rearranjar a equação dada:<br /><br />$3\overrightarrow{w} - (2\overrightarrow{v} - \overrightarrow{u}) = 2(4\overrightarrow{v} - 3\overrightarrow{v})$<br /><br />Simplificando:<br /><br />$3\overrightarrow{w} - 2\overrightarrow{v} + \overrightarrow{u} = 2\overrightarrow{v}$<br /><br />Agrupando os termos semelhantes:<br /><br />$3\overrightarrow{w} = 4\overrightarrow{v} - \overrightarrow{u}$<br /><br />Dividindo ambos os lados por 3:<br /><br />$\overrightarrow{w} = \frac{4}{3}\overrightarrow{v} - \frac{1}{3}\overrightarrow{u}$<br /><br />Substituindo os valores dos vetores $\overrightarrow{u}$ e $\overrightarrow{v}$:<br /><br />$\overrightarrow{w} = \frac{4}{3}(-1, 2) - \frac{1}{3}(3, -1)$<br /><br />$\overrightarrow{w} = (-\frac{4}{3}, \frac{8}{3}) - (\frac{1}{3}, -\frac{1}{3})$<br /><br />$\overrightarrow{w} = (-\frac{5}{3}, \frac{7}{3})$<br /><br />Portanto, o vetor $\overrightarrow{w}$ é $\overrightarrow{w} = (-\frac{5}{3}, \frac{7}{3})$.<br /><br />(c) Para encontrar o vetor $\overrightarrow{w}$, podemos rearranjar a equação dada:<br /><br />$5\overrightarrow{w} + 3\overrightarrow{v} - 2\overrightarrow{u} - \frac{2}{3}(-3\overrightarrow{w} + \overrightarrow{u}) - \overrightarrow{v} = 0$<br /><br />Simplificando:<br /><br />$5\overrightarrow{w} + 3\overrightarrow{v} - 2\overrightarrow{u} + 2\overrightarrow{w} - \frac{2}{3}\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v} = 0$<br /><br />Agrupando os termos semelhantes:<br /><br />$7\overrightarrow{w} + 2\overrightarrow{v} - \frac{8}{3}\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v} = 0$<br /><br />$7\overrightarrow{w} = \frac{8}{3}\overrightarrow{u} - 2\overrightarrow{v}$<br /><br />Dividindo ambos os lados por 7:<br /><br />$\overrightarrow{w} = \frac{8}{21}\overrightarrow{u} - \frac{2}{7}\overrightarrow{v