) Um conjunto tem 13 números positivos e 12 números negativos De quantas maneiras podemos escolher 4 números deste conjunto de tal forma que o produto destes números seja negativo?

Para que o produto de 4 números seja negativo, é necessário ter um número ímpar de números negativos. Vamos analisar as possibilidades:<br /><br />1. **4 números negativos**: Não é possível, pois há apenas 12 números negativos.<br />2. **3 números negativos e 1 número positivo**: Podemos escolher 3 dos 12 números negativos de \( \binom{12}{3} \) maneiras e 1 dos 13 números positivos de \( \binom{13}{1} \) maneiras. O número total de combinações é \( \binom{12}{3} \times \binom{13}{1} \).<br />3. **1 número negativo e 3 números positivos**: Podemos escolher 1 dos 12 números negativos de \( \binom{12}{1} \) maneiras e 3 dos 13 números positivos de \( \binom{13}{3} \) maneiras. O número total de combinações é \( \binom{12}{1} \times \binom{13}{3} \).<br /><br />Somando essas combinações, temos:<br /><br />\[ \binom{12}{3} \times \binom{13}{1} + \binom{12}{1} \times \binom{13}{3} \]<br /><br />Calculando:<br /><br />\[ \binom{12}{3} = \frac{12!}{3!(12-3)!} = 220 \]<br />\[ \binom{13}{1} = 13 \]<br />\[ \binom{12}{1} = 12 \]<br />\[ \binom{13}{3} = \frac{13!}{3!(13-3)!} = 286 \]<br /><br />Portanto:<br /><br />\[ 220 \times 13 + 12 \times 286 = 2860 + 3432 = 6292 \]<br /><br />Então, há 6292 maneiras de escolher 4 números deste conjunto de forma que o produto seja negativo.