1. Uma função é contínua em um ponto quando o limite da função nesse ponto existe e é igual ao valor da função naquele ponto Para verificar se uma função é contínua em um ponto, é preciso garantir que o ponto pertence ao domínio da função. Se o ponto não estiver no domínio , a função não é contínua nesse ponto. Considere a função definida por f(x)={ 2x-a,sexlt -3ax+2b,severt xvert leqslant 3b-5x se xgt 3 Nessas condições, qual o valor da soma a+b para que f seja contínua em toda parte? A) 9. B) 0. C) 4 D) -9

Para que a função seja contínua em toda parte, é necessário que ela seja contínua em todos os pontos do seu domínio. Vamos analisar as condições dadas para a função \( f(x) \):<br /><br />\[ f(x) = \begin{cases} <br />2x - a, & \text{se } x < -3 \\<br />ax + 2b, & \text{se } |x| \leq 3 \\<br />b - 5x, & \text{se } x > 3 <br />\end{cases} \]<br /><br />Para que a função seja contínua em \( x = -3 \), o limite da função quando \( x \) se aproxima de -3 pela esquerda deve ser igual ao valor da função em \( x = -3 \). Da mesma forma, para que a função seja contínua em \( x = 3 \), o limite da função quando \( x \) se aproxima de 3 pela direita deve ser igual ao valor da função em \( x = 3 \).<br /><br />Vamos calcular os limites:<br /><br />1. Para \( x \to -3^- \):<br />\[ \lim_{{x \to -3^-}} f(x) = \lim_{{x \to -3^-}} (2x - a) = 2(-3) - a = -6 - a \]<br /><br />2. Para \( x \to -3^+ \):<br />\[ \lim_{{x \to -3^+}} f(x) = \lim_{{x \to -3^+}} (ax + 2b) = a(-3) + 2b = -3a + 2b \]<br /><br />Para que a função seja contínua em \( x = -3 \), esses dois limites devem ser iguais:<br />\[ -6 - a = -3a + 2b \]<br /><br />3. Para \( x \to 3^- \):<br />\[ \lim_{{x \to 3^-}} f(x) = \lim_{{x \to 3^-}} (ax + 2b) = a(3) + 2b = 3a + 2b \]<br /><br />4. Para \( x \to 3^+ \):<br />\[ \lim_{{x \to 3^+}} f(x) = \lim_{{x \to 3^+}} (b - 5x) = b - 5(3) = b - 15 \]<br /><br />Para que a função seja contínua em \( x = 3 \), esses dois limites devem ser iguais:<br />\[ 3a + 2b = b - 15 \]<br /><br />Agora, vamos resolver essas equações simultaneamente:<br /><br />\[ -6 - a = -3a + 2b \]<br />\[ 3a + 2b = b - 15 \]<br /><br />Primeira equação:<br />\[ -6 - a = -3a + 2b \]<br />\[ -6 + 2a = 2b - 3a \]<br />\[ 2a + 3a = 2b + 6 \]<br />\[ 5a = 2b + 6 \]<br />\[ 2b = 5a - 6 \]<br />\[ b = \frac{5a - 6}{2} \]<br /><br />Segunda equação:<br />\[ 3a + 2b = b - 15 \]<br />\[ 3a + 2b = b - 15 \]<br />\[ 3a + 2b - b = -15 \]<br />\[ 3a + b = -15 \]<br /><br />Substituindo \( b \) da primeira equação na segunda:<br />\[ 3a + \frac{5a - 6}{2} = -15 \]<br />\[ 6a + 5a - 6 = -30 \]<br />\[ 11a - 6 = -30 \]<br />\[ 11a = -24 \]<br />\[ a = -\frac{24}{11} \]<br /><br />Agora, substituindo \( a \) na primeira equação:<br />\[ b = \frac{5(-\frac{24}{11}) - 6}{2} \]<br />\[ b = \frac{-\frac{120}{11} - 6}{2} \]<br />\[ b = \frac{-\frac{120}{11} - \frac{66}{11}}{2} \]<br />\[ b = \frac{-\frac{186}{11}}{2} \]<br />\[ b = -\frac{93}{11} \]<br /><br />Portanto, \( a + b = -\frac{24}{11} - \frac{93}{11} = -\frac{117}{11} = -10.636 \), que não é uma das opções forn