Exercício 25.. (China 1986)possivel arranjar os números 1,1,2,2,3,3,ldots ,1986,1986em fila de modo que entre quaisquer dois i's hajam (i-1) números?

Para resolver esse problema, podemos usar o conceito de "arranjo" em combinatoria. Um arranjo é uma disposição ordenada de objetos em que a ordem é importante.<br /><br />No caso do exercício, temos 1986 números e queremos arranjá-los em uma fila de modo que entre quaisquer dois 1's haja exatamente (i-1) números.<br /><br />Para encontrar o número de arranjos possíveis, podemos usar a fórmula do arranjo:<br /><br />A(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)<br /><br />Onde n é o número total de elementos e k é o número de elementos que queremos selecionar.<br /><br />No nosso caso, n = 1986 e k = 2 (pois queremos selecionar dois 1's). Substituindo esses valores na fórmula, temos:<br /><br />A(1986, 2) = 1986! / (2! * (1986-2)!)<br /><br />Simplificando a expressão, temos:<br /><br />A(1986, 2) = 1986! / (2! * 1984!)<br /><br />Podemos cancelar os fatoriais comuns nos numerador e denominador:<br /><br />A(1986, 2) = 1986 * 1985 / (2 * 1)<br /><br />A(1986, 2) = 1986 * 1985 / 2<br /><br />A(1986, 2) = 1986 * 992.5<br /><br />A(1986, 2) = 197,010,500<br /><br />Portanto, há 197,010,500 maneiras de arranjar os números 1, 1, 2, 2, 3, 3,..., 1986, 1986 em uma fila de modo que entre quaisquer dois 1's haja exatamente (i-1) números.