6) int (d x)/(x sqrt(x^2)+9)

Para resolver a integral \( \int \frac{dx}{x \sqrt{x^2 + 9}} \), podemos usar uma substituição trigonométrica.<br /><br />Vamos fazer a substituição \( x = 3 \sinh(\theta) \), onde \( \sinh \) é a função hiperbólica seno. Então, \( dx = 3 \cosh(\theta) d\theta \).<br /><br />Substituindo na integral, temos:<br /><br />\[ \int \frac{3 \cosh(\theta) d\theta}{3 \sinh(\theta) \sqrt{9 \sinh^2(\theta) + 9}} \]<br /><br />Simplificando, obtemos:<br /><br />\[ \int \frac{3 \cosh(\theta) d\theta}{3 \sinh(\theta) \cdot 3 \cosh(\theta)} \]<br /><br />\[ \int \frac{3 \cosh(\theta) d\theta}{9 \sinh(\theta) \cosh(\theta)} \]<br /><br />\[ \int \frac{d\theta}{3 \sinh(\theta)} \]<br /><br />\[ \int \frac{d\theta}{3 \sinh(\theta)} = \frac{1}{3} \int \frac{d\theta}{\sinh(\theta)} \]<br /><br />Sabemos que \( \int \frac{d\theta}{\sinh(\theta)} = \ln|\sinh(\theta)| + C \), onde \( C \) é a constante de integração.<br /><br />Portanto, a integral \( \int \frac{dx}{x \sqrt{x^2 + 9}} \) é igual a \( \frac{1}{3} \ln|\sintheta)| + C \), onde \( \theta = \sinh^{-1}(x/3) \).