Pergunta

1. Calcule a integral tripla int _(0)^sqrt (5)int _(-sqrt (5-x^2))^0int _(x^2+y^2-11)^9-3x^(2-3y^2)2x-3ydzdydx por meio de uma transformação em coordenadas cilíndricas . Esboc croose
Solução

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IracemaVeterano · Tutor por 12 anos
Responder
Para calcular a integral tripla dada, podemos usar uma transformação em coordenadas cilíndricas. Vamos começar transformando as variáveis de integração da integral tripla para coordenadas cilíndricas.<br /><br />A integral tripla é dada por:<br /><br />$\int_{0}^{\sqrt{5}} \int_{-\sqrt{5-x^{2}}}^{0} \int_{x^{2}+y^{2}-11}^{9-3x^{2}-3y^{2}} 2x-3y \, dz \, dy \, dx$<br /><br />Para transformar para coordenadas cilíndricas, vamos usar as seguintes substituições:<br /><br />$x = r \cos(\theta)$<br />$y = r \sin(\theta)$<br />$z = z$<br /><br />A região de integração é dada por:<br /><br />$0 \leq r \leq \sqrt{5}$<br />$-\sqrt{5-x^{2}} \leq y \leq 0$<br />$x^{2}+y^{2}-11 \leq z \leq 9-3x^{2}-3y^{2}$<br /><br />Substituindo as variáveis de integração, obtemos:<br /><br />$\int_{0}^{\sqrt{5}} \int_{-\sqrt{5-r^{2}\cos^{2}(\theta)}}^{0} \int_{r^{2}\cos^{2}(\theta)+r^{2}\sin^{2}(\theta)-11}^{9-3r^{2}\cos^{2}(\theta)-3r^{2}\sin^{2}(\theta)} 2r\cos(\theta)-3r\sin(\theta) \, dz \, dr \, d\theta$<br /><br />Simplificando a integral, temos:<br /><br />$\int_{0}^{\sqrt{5}} \int_{-\sqrt{5-r^{2}}}^{0} \int_{r^{2}-11}^{9-3r^{2}} 2r\cos(\theta)-3r\sin(\theta) \, dz \, dr \, d\theta$<br /><br />Agora, podemos calcular a integral tripla em coordenadas cilíndricas.
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