1) Demonstrar por "inducão matemática": a) 1^2+2^2+3^2+ldots +n^2-(n(n+1)(2n+1))/(6),forall nin N.

Para demonstrar a igualdade \(1^{2}+2^{2}+3^{2}+\ldots +n^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\) por indução matemática, vamos seguir os passos da prova por indução.<br /><br />Passo 1: Base da indução<br />Para \(n = 1\), temos \(1^2 = \frac{1(1+1)(2 \cdot 1+1)}{6}\), que é verdadeiro.<br /><br />Passo 2: Passo da indução<br />Suponha que a igualdade é verdadeira para algum \(k \in \mathbb{N}\), ou seja, \(1^2 + 2^2 + \ldots + k^2 = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6}\).<br /><br />Queremos mostrar que a igualdade também é verdadeira para \(k+1\), ou seja, \(1^2 + 2^2 + \ldots + k^2 + (k+1)^2 = \frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}\).<br /><br />Substituindo a suposição de indução na expressão acima, temos:<br /><br />\[<br />\begin{align*}<br />1^2 + 2^2 + \ldots + k^2 + (k+1)^2 &= \frac{k(k+1)(2k+1)}{6} + (k+1)^2 \\<br />&= \frac{k(k+1)(2k+1) + 6(k+1)^2}{6} \\<br />&= \frac{(k+1)[k(2k+1) + 6(k+1)]}{6} \\<br />&= \frac{(k+1)(2k^2 + 7k + 6)}{6} \\<br />&= \frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}<br />\end{align*}<br />\]<br /><br />Portanto, a igualdade é verdadeira para \(k+1\), o que completa o passo da indução.<br /><br />Passo 3: Conclusão<br />Como a igualdade é verdadeira para a base da indução (\(n = 1\)) e o passo da indução foi comprovado, concluímos que a igualdade \(1^{2}+2^{2}+3^{2}+\ldots +n^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\) é verdadeira para todos os \(n \in \mathbb{N}\).