( 139.)Em cada uma das P.G. abaixo, calcule o produto dos n termos iniciais: a) (1,2,4,8,ldots )en=10 b) (-2,-6,-18,-54,ldots ) e n=20 c) (3,-6,12,-24,ldots )en=25 d) [(-2)^0,(-2)^1,(-2)^2,(-2)^3,ldots ] n=66 e) [(-3)^25,(-3)^24,(-3)^23,ldots ]en=51 f) (a^1,-a^2,a^3,-a^4ldots )en=100

Vamos corrigir e detalhar os cálculos para cada uma das progressões geométricas (P.G.) fornecidas:<br /><br />a) **P.G.: (1, 2, 4, 8,...) com n = 10**<br /><br />A fórmula do produto dos n primeiros termos de uma P.G. é:<br />\[ P_n = a \cdot r^{(n-1)} \]<br /><br />Aqui, \( a = 1 \) e \( r = 2 \). Substituindo os valores:<br />\[ P_{10} = 1 \cdot 2^{(10-1)} = 2^9 = 512 \]<br /><br />b) **P.G.: (-2, -6, -18, -54,...) com n = 20**<br /><br />Aqui, \( a = -2 \) e \( r = 3 \). Substituindo os valores:<br />\[ P_{20} = -2 \cdot 3^{(20-1)} = -2 \cdot 3^{19} \]<br /><br />Calculando \( 3^{19} \):<br />\[ 3^{19} = 1162261467 \]<br /><br />Portanto:<br />\[ P_{20} = -2 \cdot 1162261467 = -2324522934 \]<br /><br />c) **P.G.: (3, -6, 12, -24,...) com n = 25**<br /><br />Aqui, \( a = 3 \) e \( r = -2 \). Substituindo os valores:<br />\[ P_{25} = 3 \cdot (-2)^{(25-1)} = 3 \cdot (-2)^{24} \]<br /><br />Calculando \( (-2)^{24} \):<br />\[ (-2)^{24} = 16777216 \]<br /><br />Portanto:<br />\[ P_{25} = 3 \cdot 16777216 = 50331648 \]<br /><br />d) **P.G.: [(-2)^0, (-2)^1, (-2)^2, (-2)^3,...) com n = 66**<br /><br />Aqui, \( a = 1 \) e \( r = -2 \). Substituindo os valores:<br />\[ P_{66} = 1 \cdot (-2)^{(66-1)} = (-2)^{65} \]<br /><br />Calculando \( (-2)^{65} \):<br />\[ (-2)^{65} = -33554432 \]<br /><br />e) **P.G.: [(-3)^25, (-3)^24, (-3)^23,...) com n = 51**<br /><br />Aqui, \( a = (-3)^{25} \) e \( r = \frac{1}{-3} \). Substituindo os valores:<br />\[ P_{51} = (-3)^{25} \cdot \left(\frac{1}{-3}\right)^{(51-1)} = (-3)^{25} \cdot (-3)^{-50} \]<br /><br />Simplificando:<br />\[ P_{51} = (-3)^{25-50} = (-3)^{-25} = \frac{1}{(-3)^{25}} \]<br /><br />f) **P.G.: (a, -a^2, a^3, -a^4,...) com n = 100**<br /><br />Aqui, \( a = a \) e \( r = -a \). Substituindo os valores:<br />\[ P_{100} = a \cdot (-a)^{(100-1)} = a \cdot (-a)^{99} \]<br /><br />Simplificando:<br />\[ P_{100} = a \cdot (-1)^{99} \cdot a^{99} = -a^{100} \]<br /><br />Portanto, as respostas finais são:<br /><br />a) \( P_{10} = 512 \)<br /><br />b) \( P_{20} = -2324522934 \)<br /><br />c) \( P_{25} = 50331648 \)<br /><br />d) \( P_{66} = -33554432 \)<br /><br />e) \( P_{51} = \frac{1}{(-3)^{25}} \)<br /><br />f) \( P_{100} = -a^{100} \)