EX: Determine o volume do tetraedro limitado pelos planos x+2 y+z=2, x=2 y, x=0 e z=0

Para determinar o volume do tetraedro limitado pelos planos dados, podemos usar a fórmula do volume de um tetraedro em coordenadas cartesianas.<br /><br />Primeiro, vamos encontrar as coordenadas dos vértices do tetraedro. Os planos dados são:<br /><br />1. \( x + 2y + z = 2 \)<br />2. \( x = 2y \)<br />3. \( x = 0 \)<br />4. \( z = 0 \)<br /><br />Vamos encontrar os pontos de interseção desses planos:<br /><br />1. O plano \( x = 0 \) intersecta o plano \( x = 2y \) em \( (0, 0, 0) \).<br />2. O plano \( x = 0 \) intersecta o plano \( x + 2y + z = 2 \) em \( (0, 1, 1) \).<br />3. O plano \( x = 2y \) intersecta o plano \( x + 2y + z = 2 \) em \( (2, 1, 0) \).<br />4. O plano \( z = 0 \) intersecta o plano \( x + 2y + z = 2 \) em \( (2, 0, 0) \).<br /><br />Portanto, os vértices do tetraedro são \( (0, 0, 0) \), \( (0, 1, 1) \), \( (2, 1, 0) \) e \( (2, 0, 0) \).<br /><br />Agora, podemos usar a fórmula do volume de um tetraedro em coordenadas cartesianas:<br /><br />\[ V = \frac{1}{6} \left| \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & z_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & z_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & z_3 & 1 \\ x_4 & y_4 & z_4 & 1 \end{vmatrix} \right| \]<br /><br />Substituindo as coordenadas dos vértices na fórmula, temos:<br /><br />\[ V = \frac{1}{6} \left| \begin{vmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} \right| \]<br /><br />Calculando o determinante, obtemos:<br /><br />\[ V = \frac{1}{6} \left| 0 \cdot (1 \cdot 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 \cdot 1) - 0 \cdot (0 \cdot 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 \cdot 1) + 0 \cdot (0 \cdot 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot 2 + 1 \cdot 1 \cdot 2 + 1 \cdot 0 \cdot 2) - 1 \cdot (0 \cdot 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 \cdot 2 + 0 \cdot 1 \cdot 2 + 0 \cdot 0 \cdot 2) \right| \]<br /><br />Simplificando, temos:<br /><br />\[ V = \frac{1}{6} \left| -2 \right| = \frac{1}{6} \cdot 2 = \frac{1}{3} \]<br /><br />Portanto, o volume do tetraedro é \( \frac{1}{3} \).