15:Determine o valor sen(arctg((sqrt (3))/(3)))+cos(arctg(1))+tg(arcsen((sqrt (2))/(2)))

Para determinar o valor da expressão \( \sin(\arctan(\frac{\sqrt{3}}{3})) + \cos(\arctan(1)) + \tan(\arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2})) \), vamos analisar cada termo separadamente.<br /><br />1. \( \sin(\arctan(\frac{\sqrt{3}}{3})) \):<br /> - A função \( \arctan \) retorna o ângulo cujo tangente é \( \frac{\sqrt{3}}{3} \).<br /> - Sabemos que \( \tan(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{3} \), então \( \arctan(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{6} \).<br /> - Portanto, \( \sin(\arctan(\frac{\sqrt{3}}{3})) = \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2} \).<br /><br />2. \( \cos(\arctan(1)) \):<br /> - A função \( \arctan \) retorna o ângulo cuja tangente é 1.<br /> - Sabemos que \( \tan(\frac{\pi}{4}) = 1 \), então \( \arctan(1) = \frac{\pi}{4} \).<br /> - Portanto, \( \cos(\arctan(1)) = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \).<br /><br />3. \( \tan(\arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2})) \):<br /> - A função \( \arcsin \) retorna o ângulo cuja seno é \( \frac{\sqrt{2}}{2} \).<br /> - Sabemos que \( \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \), então \( \arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4} \).<br /> - Portanto, \( \tan(\arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2})) = \tan(\frac{\pi}{4}) = 1 \).<br /><br />Somando os valores dos três termos, temos:<br />\[ \sin(\arctan(\frac{\sqrt{3}}{3})) + \cos(\arctan(1)) + \tan(\arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2})) = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + 1 = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2}{2} = \frac{1 + \sqrt{2} + 2}{2} = \frac{3 + \sqrt{2}}{2} \]<br /><br />Portanto, o valor da expressão é \( \frac{3 + \sqrt{2}}{2} \).