6) Encontre a solução geral da equação diferencial: y'=ln(y-xy')

Para encontrar a solução geral da equação diferencial dada, podemos usar o método de separação de variáveis. Vamos reescrever a equação diferencial da seguinte forma:<br /><br />$y' = \ln(y - xy')$<br /><br />Podemos isolar a derivada de $y$ em um lado da equação:<br /><br />$y' - \ln(y - xy') = 0$<br /><br />Agora, vamos separar as variáveis $y$ e $x$:<br /><br />$\frac{dy}{dx} = \ln(y - xy')$<br /><br />Para isolar a derivada de $y$, podemos multiplicar ambos os lados da equação por $dx$:<br /><br />$d y = \ln(y - x \frac{dy}{dx}) dx$<br /><br />Agora, vamos substituir $\frac{dy}{dx}$ por $y'$:<br /><br />$d y = \ln(y - x y') dx$<br /><br />Para resolver essa equação diferencial, podemos usar uma substituição. Vamos fazer $u = y - xy'$:<br /><br />$d y = \left(\frac{du + xy'}{1 + x}\right) dx$<br /><br />Agora, podemos substituir $u$ por $y - xy'$ na equação diferencial:<br /><br />$\frac{du + xy'}{1 + x} = \ln(u) dx$<br /><br />Podemos isolar a derivada de $u$ em um lado da equação:<br /><br />$\frac{du}{1 + x} + xy' = \ln(u) dx$<br /><br />Agora, podemos resolver essa equação diferencial separando as variáveis $u$ e $x$. Vamos isolar a derivada de $u$ em um lado da equação:<br /><br />$\frac{du}{\ln(u)} = (\ln(u) - xy') \frac{dx}{1 + x}$<br /><br />Podemos simplificar a equação dividindo ambos os lados por $\ln(u)$:<br /><br />$\frac{du}{u \ln(u)} = (\ln(u) - xy') \frac{dx}{1 + x}$<br /><br />Agora, podemos integrar ambos os lados da equação:<br /><br />$\int \frac{1}{u \ln(u)} du = \int (\ln(u) - xy') \frac{dx}{1 + x}$<br /><br />A integral do lado esquerdo pode ser resolvida usando uma substituição. Vamos fazer $v = \ln(u)$:<br /><br />$\int \frac{1}{u \ln(u)} du = \int \frac{dv}{v}$<br /><br />A integral do lado direito pode ser resolvida usando integração por partes. Vamos fazer $w = \ln(u)$ e $dz = \frac{dx}{1 + x}$:<br /><br />$\int \frac{1}{u \ln(u)} du = \int w dz$<br /><br />Aplicando integração por partes, temos:<br /><br />$\int \frac{1}{u \ln(u)} du = w \int dz - \int \left(\frac{dw}{w}\right) \int dz$<br /><br />Simplificando a equação, temos:<br /><br />$\int \frac{1}{u \ln(u)} du = w \int dz - \int \left(\frac{dw}{w}\right) \int dz$<br /><br />Agora, podemos substituir $w$ por $\ln(u)$ e $dz$ por $\frac{dx}{1 + x}$:<br /><br />$\int \frac{1}{u \ln(u)} du = \ln(u) \int \frac{dx}{1 + x} - \int \left(\frac{1}{u}\right) \int \frac{dx}{1 + x}$<br /><br />Simplificando a equação, temos:<br /><br />$\int \frac{1}{u \ln(u)} du = \ln(u) \int \frac{dx}{1 + x} - \int \left(\frac{1}{u}\right) \int \frac{dx}{1 + x}$<br /><br />Agora, podemos resolver a integral do lado direito usando integração por partes. Vamos fazer $w = \ln(u)$ e $dz = \frac{dx}{1 + x}$:<br /><br />$\int \frac{1}{u \ln(u)} du = \ln(u) \int \frac{dx}{1 + x} - \int \left(\frac{1}{u}\right) \int \frac{dx}{1 + x}$<br /><br />Aplicando integração por partes, temos:<br /><br />$\int \frac{1}{u \ln(u)} du = w \int dz - \int \left(\frac{dw}{w}\right) \int dz$<br /><br />Simplificando a equação, temos:<br /><br />$\int \frac{1}{u \ln(u)} du = w \int dz - \int \left(\frac{1}{u}\right